По условию задания составим уравнение расстояния произвольной точки М(х; у) от точки А(3; -4) в 3 раза большего, чем от точки М до прямой х = 5.
√((3 - x)² + (y - (-4))²) = |3*(5 - x)|.
Модуль в правой части взят, чтобы длина не была отрицательной для точек, расположенных правее линии х = 5.
Возведём обе части в квадрат.
9 - 6x + x² + y² + 8y + 16 = 9*(25 - 10x + x²).,
Приведём подобные: 8x² - 84x - y² - 8y + 200 = 0.
Выделим полные квадраты.
8(x² - 10,5x + 5,25²) - 8*5,25² - (y² + 8y + 16) - 16 + 200 = 0.
8(x - (21/4))² - (y + 4)² = (9/2).
Разделим обе части на (9/2).
((x - (21/4))²)/(9/16) - ((y + 4)²)/(9/2) = 1.
Получено искомое уравнение. Это уравнение гиперболы.
Центр её расположен в точке ((21/4); -4).
Полуоси: действительная равна а =√(9/16) = 3/4, мнимая b = 3/√2.
Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами
Определим параметр c: c² = a² + b² = 9/16 + 9/2 = 81/16 .
c = 9/4.
Тогда эксцентриситет будет равен: е = с/а = (9/4)/(3/4) = 3.
Более детальное решение приведено во вложении. Там же дан график полученной линии.
1. Дано: КМРТ - трапеция, КМ=РТ, КТ=14 дм, МР=8 дм. МН - высота, МН=4 дм. Найти КМ.
Решение: проведем высоту РС.
МР=СН=8 дм.
ΔКМН=ΔРСТ по катету и гипотенузе, КН=СТ=(14-8):2=3 дм.
Рассмотрим ΔКМН - прямоугольный, КН=3 дм, МН=4 дм, значит КМ=5 дм (египетский треугольник).
ответ: 5 дм.
2. Дано: КМСТ - прямоугольник, Р=56 см, КТ-МК=4 см. Найти МТ.
Решение: МК+КТ=56:2=28 см. Пусть КТ=х см, тогда МК=х-4 см.
Составим уравнение: х+х-4=28; 2х=32; х=16.
КТ=16 см; МК=16-4=12 см. Тогда по теореме Пифагора
МТ=√(16²+12²)=√(256+144)=√400=20 см.
(или просто: МТ=20 см, т.к. МК:КТ=12:16=3:4; МКТ - египетский треугольник)
ответ: 20 см.
По условию задания составим уравнение расстояния произвольной точки М(х; у) от точки А(3; -4) в 3 раза большего, чем от точки М до прямой х = 5.
√((3 - x)² + (y - (-4))²) = |3*(5 - x)|.
Модуль в правой части взят, чтобы длина не была отрицательной для точек, расположенных правее линии х = 5.
Возведём обе части в квадрат.
9 - 6x + x² + y² + 8y + 16 = 9*(25 - 10x + x²).,
Приведём подобные: 8x² - 84x - y² - 8y + 200 = 0.
Выделим полные квадраты.
8(x² - 10,5x + 5,25²) - 8*5,25² - (y² + 8y + 16) - 16 + 200 = 0.
8(x - (21/4))² - (y + 4)² = (9/2).
Разделим обе части на (9/2).
((x - (21/4))²)/(9/16) - ((y + 4)²)/(9/2) = 1.
Получено искомое уравнение. Это уравнение гиперболы.
Центр её расположен в точке ((21/4); -4).
Полуоси: действительная равна а =√(9/16) = 3/4, мнимая b = 3/√2.
Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами
Определим параметр c: c² = a² + b² = 9/16 + 9/2 = 81/16 .
c = 9/4.
Тогда эксцентриситет будет равен: е = с/а = (9/4)/(3/4) = 3.
Более детальное решение приведено во вложении. Там же дан график полученной линии.
1. Дано: КМРТ - трапеция, КМ=РТ, КТ=14 дм, МР=8 дм. МН - высота, МН=4 дм. Найти КМ.
Решение: проведем высоту РС.
МР=СН=8 дм.
ΔКМН=ΔРСТ по катету и гипотенузе, КН=СТ=(14-8):2=3 дм.
Рассмотрим ΔКМН - прямоугольный, КН=3 дм, МН=4 дм, значит КМ=5 дм (египетский треугольник).
ответ: 5 дм.
2. Дано: КМСТ - прямоугольник, Р=56 см, КТ-МК=4 см. Найти МТ.
Решение: МК+КТ=56:2=28 см. Пусть КТ=х см, тогда МК=х-4 см.
Составим уравнение: х+х-4=28; 2х=32; х=16.
КТ=16 см; МК=16-4=12 см. Тогда по теореме Пифагора
МТ=√(16²+12²)=√(256+144)=√400=20 см.
(или просто: МТ=20 см, т.к. МК:КТ=12:16=3:4; МКТ - египетский треугольник)
ответ: 20 см.