А) Периметр треугольника AMN равен АМ+AN+MN. Центр вписанной окружности О лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника АВС. Следовательно, треугольник ОМВ равнобедренный, так как <MOB=<OBC (как накрест лежащие при параллельных прямых MN и ВС и секущей ОВ), а <MBO=<OBC (так как ОВ - биссектриса угла В треугольника АВС). Отсюда МВ=МО. Точно так же в треугольнике NOC имеем ON=NC. MN = MO+ON или MN=MB+NC. AB=AM+MB, AC=AN+NC. Тогда периметр треугольника AMN равен АМ+AN+NO+OM = АМ+AN+NC+MB = АВ+АС, что и требовалось доказать.
б) Из прямоугольного треугольника АОР (радиус в точку касания перпендикулярен касательной) имеем: АР=√(AO²-OP²)=√(16r²-r²) = r√15. Тогда по свойству: "Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно d=(a+b-c)/2 = p-c", где с- сторона, лежащая против угла С, имеем: АВ+АС-ВС = 2r√15 (1). С другой стороны по формуле площади треугольника имеем: Sabc=p*r, где р - полупериметр треугольника АВС. Отсюда r=S/p = 2√15/(AB+AC+BC). (2) Подставляем (2) в (1): АВ+АС-ВС = 2*(2√15/(AB+AC+BC))*√15. ВС=2, тогда АВ+АС-2 = 2*(2√15/(AB+AC+2))*√15. Или (АВ+АС-2 )*(AB+AC+2)=4*15. Или (АВ+АС)²-4=4*15, отсюда (АВ+АС)=√(4(1+15))=8.Но выше мы доказали, что АВ+АС - это периметр треугольника AMN. ответ: Pamn=8.
Вариант решения. Так как АА₁ , ВВ₁ , СС₁ , DD₁ параллельны, АА₁ и СС₁ лежат в одной плоскости. Четырехугольник АА₁С₁С - трапеция. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. ⇒ АО=ОС и их проекции А₁О₁ и О₁С₁ равны. ⇒ ОО₁- средняя линия трапеции. ОО₁=(АА. +СС₁):2=34:2=17 см ВВ₁ и DD₁ параллельны, ⇒ лежат в одной плоскости. Четырехугольник ВВ₁ D₁D - трапеция и ОО₁=17 см - её средняя линия. (DD₁+BB₁):2=17 см DD₁+9=34 см DD₁=34-9=25 см ответ. ОО₁ и DD₁ равны 17 см и 25 см соответственно.
MN и ВС и секущей ОВ), а <MBO=<OBC (так как ОВ - биссектриса угла В треугольника АВС). Отсюда МВ=МО. Точно так же в треугольнике NOC имеем ON=NC. MN = MO+ON или MN=MB+NC. AB=AM+MB, AC=AN+NC. Тогда периметр треугольника AMN равен
АМ+AN+NO+OM = АМ+AN+NC+MB = АВ+АС, что и требовалось доказать.
б) Из прямоугольного треугольника АОР (радиус в точку касания перпендикулярен касательной) имеем: АР=√(AO²-OP²)=√(16r²-r²) = r√15. Тогда по свойству: "Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно d=(a+b-c)/2 = p-c", где с- сторона, лежащая против угла С, имеем: АВ+АС-ВС = 2r√15 (1).
С другой стороны по формуле площади треугольника имеем: Sabc=p*r, где р - полупериметр треугольника АВС. Отсюда r=S/p = 2√15/(AB+AC+BC). (2)
Подставляем (2) в (1): АВ+АС-ВС = 2*(2√15/(AB+AC+BC))*√15. ВС=2, тогда
АВ+АС-2 = 2*(2√15/(AB+AC+2))*√15. Или (АВ+АС-2 )*(AB+AC+2)=4*15. Или (АВ+АС)²-4=4*15, отсюда
(АВ+АС)=√(4(1+15))=8.Но выше мы доказали, что АВ+АС - это периметр треугольника AMN.
ответ: Pamn=8.
Так как АА₁ , ВВ₁ , СС₁ , DD₁ параллельны, АА₁ и СС₁ лежат в одной плоскости. Четырехугольник АА₁С₁С - трапеция.
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. ⇒ АО=ОС и их проекции А₁О₁ и О₁С₁ равны. ⇒
ОО₁- средняя линия трапеции.
ОО₁=(АА. +СС₁):2=34:2=17 см
ВВ₁ и DD₁ параллельны, ⇒ лежат в одной плоскости.
Четырехугольник ВВ₁ D₁D - трапеция и ОО₁=17 см - её средняя линия.
(DD₁+BB₁):2=17 см
DD₁+9=34 см
DD₁=34-9=25 см
ответ.
ОО₁ и DD₁ равны 17 см и 25 см соответственно.