Если в равнобедренной трапеции провести высоты ВН и СК, то получим НВСК - прямоугольник (ВС║КН, так как основания трапеции параллельны, ВН║СК как перпендикуляры к одной прямой), тогда
ВС = КН и ВН = СК.
ΔАВН = ΔDCK по гипотенузе и катету (АВ = CD, так как трапеция равнобедренная, ВН = СК), тогда
АН = DK = (AD - KH)/2 = (AD - BC)/2.
Площадь трапеции:
Sabcd = (AD + BC)/2 · BH
Воспользуемся этими выводами для решения задач:
а) AH = DK = (17 - 11)/2 = 3 см
ΔАВН прямоугольный с гипотенузой, равной 5 см и катетом 3 см, значит он египетский и
Точка М равноудалена от сторон ромба, следовательно, проецируется в точку пересечения диагоналей ромба.
Расстояние от М до сторон равно длине отрезка МК, проведенного перпендикулярно к стороне ромба. Проекции этого отрезка равна радиусу вписанной в ромб окружности, который, проведенный в точку касания К со стороной ромба перпендикулярен ей.
Диаметр вписанной в ромб окружности равен высоте ромба.
а) Для стороны ромба:
Сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей. Ромб - параллелограмм, все стороны которого равны.
4 АВ²= 16²+12²=256+144=400
АВ²=100 ⇒ АВ=√100=10.
б) Для высоты ромба:
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
S=12•16:2=96 см²
Площадь ромба равна произведению высоты на его сторону:
S=h•a; 96=h•10; h=9,6 ⇒ r=9,6:2=4,8 см
Из прямоугольного ∆ МОК искомое расстояние
МО=√(MK²-OK²)=√(64-23,04)=6,4 см
* * *
Формула объема шарового сектора V=•πR²•h, где h - высота шарового сегмента с той же дугой в осевом сечении шара.
На рисунке приложения это КН.
∆ АОВ - прямоугольный, т.к. дуга АВ=90°
КО=АО•sin45° см
KH=R-OK=9-4,5√2=2,636 см²
V=•π•81•2,636=142,346π см³
* * *
Пусть вершина конуса М, его высота МО, радиус ОА=5 см, хорда АВ - основание сечения, его высота НМ=6 см является расстоянием от хорды до вершины конуса М.
Угол, под которым плоскость пересекает плоскость основания конуса - угол между двумя проведенными перпедикулярно к АВ лучами МН и ОН.
Тогда ∆ МОН - прямоугольный равнобедренный, НО=МО=МН•sin45°
Если в равнобедренной трапеции провести высоты ВН и СК, то получим НВСК - прямоугольник (ВС║КН, так как основания трапеции параллельны, ВН║СК как перпендикуляры к одной прямой), тогда
ВС = КН и ВН = СК.
ΔАВН = ΔDCK по гипотенузе и катету (АВ = CD, так как трапеция равнобедренная, ВН = СК), тогда
АН = DK = (AD - KH)/2 = (AD - BC)/2.
Площадь трапеции:
Sabcd = (AD + BC)/2 · BH
Воспользуемся этими выводами для решения задач:
а) AH = DK = (17 - 11)/2 = 3 см
ΔАВН прямоугольный с гипотенузой, равной 5 см и катетом 3 см, значит он египетский и
ВН = 4 см.
Sabcd = (17 + 11)/2 · 4 = 28/2 · 4 = 14 · 4 = 56 см²
б) AH = DK = (8 - 2)/2 = 3 см
ΔABH: ∠AHB = 90°, ∠BAH = 60°, ⇒ ∠ABH = 30°.
AB = 2AH = 6 см по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°,
по теореме Пифагора:
BH = √(AB² - AH²) = √(36 - 9) = √27 = 3√3 см
Sabcd = (8 + 2)/2 · 3√3 = 15√3 см²
Точка М равноудалена от сторон ромба, следовательно, проецируется в точку пересечения диагоналей ромба.
Расстояние от М до сторон равно длине отрезка МК, проведенного перпендикулярно к стороне ромба. Проекции этого отрезка равна радиусу вписанной в ромб окружности, который, проведенный в точку касания К со стороной ромба перпендикулярен ей.
Диаметр вписанной в ромб окружности равен высоте ромба.
а) Для стороны ромба:
Сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей. Ромб - параллелограмм, все стороны которого равны.
4 АВ²= 16²+12²=256+144=400
АВ²=100 ⇒ АВ=√100=10.
б) Для высоты ромба:
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
S=12•16:2=96 см²
Площадь ромба равна произведению высоты на его сторону:
S=h•a; 96=h•10; h=9,6 ⇒ r=9,6:2=4,8 см
Из прямоугольного ∆ МОК искомое расстояние
МО=√(MK²-OK²)=√(64-23,04)=6,4 см
* * *
Формула объема шарового сектора V=
•πR²•h, где h - высота шарового сегмента с той же дугой в осевом сечении шара.
На рисунке приложения это КН.
∆ АОВ - прямоугольный, т.к. дуга АВ=90°
КО=АО•sin45°
см
KH=R-OK=9-4,5√2=2,636 см²
V=
•π•81•2,636=142,346π см³
* * *
Пусть вершина конуса М, его высота МО, радиус ОА=5 см, хорда АВ - основание сечения, его высота НМ=6 см является расстоянием от хорды до вершины конуса М.
Угол, под которым плоскость пересекает плоскость основания конуса - угол между двумя проведенными перпедикулярно к АВ лучами МН и ОН.
Тогда ∆ МОН - прямоугольный равнобедренный, НО=МО=МН•sin45°
V=S•h=πr²•h
V=π•25•3√2):3=π•25√2 см³