Пусть диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Выберем произвольную точку M на перпендикуляре. Так как диагонали точкой пересечения делятся пополам, треугольники AOM, BOM, COM, DOM прямоугольные (OM перпендикулярно плоскости (ABC), а значит, и диагоналям), причём один катет у них общий, а второй катет - половина диагонали прямоугольника, то есть они равны по двум катетам. Гипотенузы этих треугольников - расстояния от вершин прямоугольника до точки M, из равенства треугольников следует равенство этих расстояний. Тогда точка M равноудалена от всех вершин прямоугольника, а в силу произвольности её выбора, любая точка перпендикуляра также равноудалена (включая точку O, то, что она равноудалена, следует из равенства OA=OB=OC=OD).
Трапеция АВСД, Н-середина СД, проводим линию МН параллельную АД, М-середина АВ, МН-средняя линия трапеции, проводим высоту ВТ на АД, средняя линия делит высоту на 2 равные части, из точки Н проводим перпендикуляр НЛ на продолжение стороны ВС, площадь ВСН=1/2ВС*НЛ, из точки Н проводим перпендикуляр НК на АД, площадь АНД=1/2АД*НК, ЛК-высота трапеции=ВТ и делится средней линией пополам НЛ=НК, НЛ+НК=ЛК-высота трапеции, площадь ВСН+площадь АНД= 1/2ВС*НЛ (НК)+1/2АД*НК, но НК=НЛ=1/2ЛК, значит площадь ВСН+площадь АНД= 1/2ВС*1/2ЛК+1/2АД*1/2ЛК=1/4ЛК(ВС+АД), площадьАВСД=1/2(ВС+АД)*ЛК, сумма площадей ВСН и АНД составляет 1/2 площади АВСД, значит площадь АВН=1/2площади АВСД=106/2=53
