Один из углов треугольника равен120 градусов. Высота биссектриса проведены из вершины этого угла образуют угол равный 20градусам. Найти неизвестные углы
Точно такую задачу уже решала. Даю ее подробное решение .
В треугольнике АВС угол В равен 120°, а длина стороны АВ на 7√3 меньше полупериметра треугольника. Найдите радиус окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС.
Окружность, радиус которой нужно найти - вневписанная.
В любом треугольнике
расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности (касающейся противоположной данной вершине стороны треугольника и продолжений двух других его сторон) с продолжением стороны треугольника, выходящей из данной вершины, есть полупериметр треугольника.
( Доказательство этой теоремы при желании легко найти, в данном случае оно не является целью решения)
То-есть в данной задаче AЕ = p. Вневписанная окружность касается стороны ВC треугольника ABC, отрезки касательных от вершины А до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.
Это утверждение вытекает из того, что
по свойству отрезков касательных из точки вне окружности отрезки от В до точек касания равны, равны и отрезки от С до точек касания. Сумма их с соответствующими сторонами треугольника является его полупериметром.
Центр данной окружности лежит на биссектрисе угла СВЕ. Так как этот угол смежный с углом АВС,
он равен 60°, а угол ОВЕ=30°. Так как длина стороны АВ на 7√3 меньше полупериметра треугольника, а АЕ - равна полупериметру, то ВЕ=7√3 Радиус ОЕ:ВЕ= tg (30°) = 1/√3 Радиус ОЕ:ВЕ=R:7√3 R:7√3 = 1/√3 R=7√3 ·1/√3=7
Значит, CK = АМ = 5х , ВК = ВМ = 8х
ВМ = ВК = 8х , АМ = АЕ = 5х , СК = СЕ = 5х – как отрезки касательных к окружности
AB + BC + AC = P abc
8x + 5x + 8x + 5x + 5x + 5x = 72
36x = 72
x = 2
Из этого следует, что ВМ = ВК = 16 , АМ = АЕ = 10 , СК = СЕ = 10 → АВ = ВС = 26 , АС = 20
Рассмотрим ∆ АВЕ (угол АЕВ = 90°):
По теореме Пифагора:
АВ² = АЕ² + ВЕ²
ВЕ² = 26² – 10² = 676 – 100 = 576
ВЕ = 24
S abc =( 1/2 ) × AC × BE = ( 1/2 ) × 20 × 24 = 240
ОТВЕТ: S abc = 240
Точно такую задачу уже решала. Даю ее подробное решение .
В треугольнике АВС угол В равен 120°, а длина стороны АВ на 7√3 меньше
полупериметра треугольника.
Найдите радиус окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Сделаем рисунок.
Окружность, радиус которой нужно найти - вневписанная.
В любом треугольнике
расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности (касающейся противоположной данной вершине стороны треугольника и продолжений двух других его сторон) с продолжением стороны треугольника, выходящей из данной вершины, есть полупериметр треугольника.
( Доказательство этой теоремы при желании легко найти, в данном случае оно не является целью решения)
То-есть в данной задаче AЕ = p.
Вневписанная окружность касается стороны ВC треугольника ABC, отрезки касательных от вершины А до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.
Это утверждение вытекает из того, что
по свойству отрезков касательных из точки вне окружности отрезки от В до точек касания равны, равны и отрезки от С до точек касания. Сумма их с соответствующими сторонами треугольника является его полупериметром.
Центр данной окружности лежит на биссектрисе угла СВЕ.
Так как этот угол смежный с углом АВС,
он равен 60°, а угол ОВЕ=30°.
Так как длина стороны АВ на 7√3 меньше полупериметра треугольника, а АЕ - равна полупериметру, то
ВЕ=7√3
Радиус ОЕ:ВЕ= tg (30°) = 1/√3
Радиус ОЕ:ВЕ=R:7√3
R:7√3 = 1/√3
R=7√3 ·1/√3=7