Окружность описана вокруг четырёхугольника ABCD, в котором угол С равен 60°, AB=3, BC=8, CD=5. Найти: а) Длину BD;
б) Длину радиуса окружности;
в) Площадь четырёхугольника ABCD. ​

Дано: угол С равен 60°, AB=3, BC=8, CD=5.

Найти:

а) Длину BD. Находим по теореме косинусов.

BD = √(5² + 8² - 2*5*8*cos 60°) = √(25 + 64 - 2*5*8*(1/2) =

     = √49 = 7.

б) Длину радиуса окружности.

R = (abc)/(4S). Площадь треугольника BCD определяем по Герону:

a = 5, b = 8, c = 7.

p = (5+8+7)/2 = 20/2 = 10.

S = √(10*5*2*3) = 10√3 ≈ 17, 320508.

R = (5*8*7)/(4*10√3) = 7/√3 = 7√3/3.

в) Площадь четырёхугольника ABCD. ​

Находим площадь треугольника ABD.

По теореме синусов находим AD = 5. p = (3 + 7 + 5)/2 = 7,5.

S(ABD) = √(7.5*4.5*0.5*2.5) = √42,1875 ≈ 6,495191.

S(ABCD) = 10√3 + √42,1875 ≈ 23,8157 кв.ед.