Окружность разделена на 4 равные части. Найдите градусную меру образовавшейся дуги и центрального угла, соответствующего этой дуге. Выполните чертеж.

Дано: ABCD — параллелограмм. (AB l l CD, и AD l l BC; AD=BC, AB=CD). Биссектрисы ∠A и ∠B пересекаются в т. F.
F ∈ CD.
Док-ть: F — середина CD.
Решение: 
1) Так как AF и BF явл. биссектрисами ∠A и ∠B, ∠BAF=∠FAB и ∠CBF=∠ABF. 
   ∠BAF=∠AFD (как накрест лежащие углы при AB l l CD и секущей AF).
   Значит, ∠FAD=∠AFD. Из этого следует, что ΔADF — равнобедренный с    осн. AF по признаку (если два угла в треугольнике равны, то он      равнобедренный). Значит,  в нем равны  боковые стороны (AD=DF).
2) По условию, ABCD — параллелограмм, AD=BC. Аналогично можно        док-ть, что ∠ABF=∠BCF (как накрест лежащие углы при AB l l CD и       секущей BF). Значит, ∠FBC=∠BFC. Из этого следует, что ΔBCF —         равнобедренный c осн. BF по признаку (если два угла в треугольнике равны, то он равнобедренный). Значит, в нем равны боковые стороны (BC=CF).
3) Из доказанного выше следует, что CF=FD, значит, F — середина стороны CD, что и требовалось доказать.
        

№ 1 .

Поскольку задача по геометрии, и дан треугольник, то, видимо, подразумевается, что она должна быть решена не в рамках алгебраических тождеств, а с геометрических рассуждений:

Итак, нам не известна длина сторон треугольника, зададим тогда одну их сторон через неопределённое число. Пусть гипотенуза лежащая напротив угла – это тогда:

;

;

;

Теперь по теореме Пифагора найдём ;



;

;

Теперь, как раз и найдём

;

О т в е т :

№ 2 .

В рассуждениях 2-ой задачи используется тот же рисунок.

Треугольники и – подобны с точностью до перечисления вершин (начинаем с острого угла по гипотенузе), т.е.:

;

Отсюда следует, что:

а значит:

;

;

;

;

О т в е т :