Окружность, вписанная в треугольник авс, касается его сторон в точках а1, в1, с1. докажите, что ас1=1/2(ав+ас-вс) распишите все подробно.

Соседние стороны треугольника - касательные к окружности, проведенные из одной точки. 

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

АС1=АА1 

А1В=ВВ1

В1С=СС1

Р(АВС)=АВ+ВС+АС

Заменим  равные отрезки 

АА1 на АС1, 

А1В на ВВ1, 

СС1 на В1С

и запишем периметр треугольника АВС иначе: 

2АС1+2ВВ1+2В1С

Периметр один и тот же, поэтому: 

2АС1+2ВВ1+2В1С=АВ+ВС+АС

2ВВ1+2В1С=2ВС => 

2 АС1=АВ+ВС+АС-2ВС =>

АС1=(АВ+АС-ВС):2, что и требовалось доказать.