Основание прямого параллелепипеда-ромб с периметром 40 см. одна из диагоналей ромба 12 см. найдите объем параллелепипеда, если его диагональ равна 20 см
1) Найдем S осн. Основание АBCD - ромб, периметр которого 40 см => сторона ромба a равна 40 : 4 = 10 см. Одна из диагоналей ромба равна 12 см, и диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, значит если обозначить пересечение диагоналей т.О, то получим четыре равных прямоугольных треугольника. Рассмортим один из них - АОВ. В нем гипотенуза равна a = 10 см, а один из катетов, например, АО = 12:2 = 6 см. Найдем по т. Пифагора другой катет ВО = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8 см.
Тогда площадь треугольника АОВ равна S(АОВ) = АО*ВО /2 = 6*8 /2 = 24 см²,
а площадь всего основания прямого параллелепипеда
S осн = 4* S(АОВ) = 4*24 = 96 см².
2) Найдем высоту h прямого параллелепипеда.
По условию нам известна его диагональ d = 20 см.
Т.к. в основании прямого параллелепипеда лежит ромб, то это может быть как большая, так и меньшая диагональ.
Пусть она соответсвует диагонали ромба 12 см, тогда высота параллелепипеда будет равна: h = √(20² - 12²) =√(400 - 144) = √256 = 16
и V = Sосн * h = 96 * 16 = 1536 см³
Если же она соответсвует диагонали ромба 16 см, тогда высота параллелепипеда будет равна: h = √(20² - 16²) =√(400 - 256) = √144 = 12
V = Sосн* h
1) Найдем S осн. Основание АBCD - ромб, периметр которого 40 см => сторона ромба a равна 40 : 4 = 10 см. Одна из диагоналей ромба равна 12 см, и диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, значит если обозначить пересечение диагоналей т.О, то получим четыре равных прямоугольных треугольника. Рассмортим один из них - АОВ. В нем гипотенуза равна a = 10 см, а один из катетов, например, АО = 12:2 = 6 см. Найдем по т. Пифагора другой катет ВО = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8 см.
Тогда площадь треугольника АОВ равна S(АОВ) = АО*ВО /2 = 6*8 /2 = 24 см²,
а площадь всего основания прямого параллелепипеда
S осн = 4* S(АОВ) = 4*24 = 96 см².
2) Найдем высоту h прямого параллелепипеда.
По условию нам известна его диагональ d = 20 см.
Т.к. в основании прямого параллелепипеда лежит ромб, то это может быть как большая, так и меньшая диагональ.
Пусть она соответсвует диагонали ромба 12 см, тогда высота параллелепипеда будет равна: h = √(20² - 12²) =√(400 - 144) = √256 = 16
и V = Sосн * h = 96 * 16 = 1536 см³
Если же она соответсвует диагонали ромба 16 см, тогда высота параллелепипеда будет равна: h = √(20² - 16²) =√(400 - 256) = √144 = 12
и V = Sосн * h = 96 * 12 = 1152 см³
ответ: 1152 см³ или 1536 см³