Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 4см и 8см и острым углом ВАD равным 60°. Диагональ призмы В1D образует с плоскостью основания угол в 30°. Найдите площадь полной поверхности призмы.
Две прямые, заданные уравнениями и , будут перпендикулярны тогда и только тогда, когда . Коэффициенты и называются угловыми коэффициентами. Мы имеем диагональ , которая лежит на прямой . Приведём уравнение этой прямой в нужный нам вид: . Здесь угловой коэффициент равен . Пусть диагональ лежит на прямой .Тогда, т.к. диагонали в квадрате перпендикулярны, , откуда . Т.е диагональ лежит на прямой . Но мы также знаем, что эта прямая проходит через точку . Исходя из этого составим уравнение: , откуда . Мы получили уравнение прямой, на которой лежит диагональ - это прямая или, что то же самое, .
Теперь к уравнениям сторон.
Две прямые, заданные уравнениями и , пересекаются под углом , тангенс которого равен . Причём при они перпендикулярны. Угол между диагональю и смежной стороной в квадрате равен . Пусть сторона лежит на прямой . Получается, нам нужно, чтобы прямая при пересечении с прямой образовывала угол в . (А сторона лежит на прямой .) Исходя из всего этого, составим и решим уравнение: Мы получили, что сторона лежит на прямой . Но мы также знаем, что эта прямая проходит через точку . Получаем, что , откуда . Значит, сторона лежит на прямой .
Найдём координаты вершины - это точка пересечения диагонали и стороны : Получили координаты вершины
Пусть прямая, на которой лежит сторона , имеет вид . Она перпендикулярна прямой, на которой лежит сторона . Отсюда, по вышеприведённому методу, найдём уравнение прямой, на которой лежит сторона : Получили, что сторона лежит на прямой .
параллельна , отсюда следует, что угловые коэффициенты этих прямых равны. Находим уравнение прямой, на которой лежит сторона : Получили уравнение : .
Найдём координаты точки :
параллельна , отсюда следует, что угловые коэффициенты этих прямых равны. Находим уравнение стороны CD: Получили, что сторона лежит на прямой
Мы имеем диагональ
Здесь угловой коэффициент равен
Пусть диагональ
Теперь к уравнениям сторон.
Две прямые, заданные уравнениями
Угол между диагональю и смежной стороной в квадрате равен
Исходя из всего этого, составим и решим уравнение:
Мы получили, что сторона
Найдём координаты вершины
Получили координаты вершины
Пусть прямая, на которой лежит сторона
Получили, что сторона
Получили уравнение
Найдём координаты точки
Получили, что сторона
1) найдем сторону аb по теореме Пифагора :
2 2 2
pb = pa + ab
2 2 2 2
ab = корень (pb - pa ) = корень (17 - 8 ) = 15
2) найдем сторону ас по теореме Пифагора :
2 2 2 2
ас = корень ( pc - pa ) = корень (4корень13 - 8 ) = корень ( 16 * 13 - 64) = 12
3) найдем сторону cb по теореме Пифагора :
2 2 2 2
cb = корень (ab - ac ) = корень (15 - 12 ) = 9
4) Площадь прямоугольного треугольника = 1/2 произведений катетов найдем площади трех прямоугольних треугольников:
Sapb = 1/2 (pa * ab) = 1/2(8*15) = 60
Sapc = 1/2 (ap * ac) = 1/2(8*12) = 48
Sacb =1/2 (ac * cb) = 1/2(12*9)=54
найдем площадь треугольника Spcb = 1/2(pc * cb) = 1/2 (4корень13 * 9)
найдем площадь пирамиды Sapb + Sapc + Sacb + Spcb = 60 + 48 + 54 + 1/2(4корень13*9)