Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 6см и 8см. Радиус шара, описанного около данной призмы, равен 13 см. Найти объем призмы. На сколько объем шара больше объема призмы, вписанной в шар.

Дано:

тр АВС - р/б (АС - основание)

АМ, СК - медианы

АМ ∩ СК = О

Доказать:

тр АОК = тр СОМ

Доказательство:

1) Т.к  тр АВС - р/ б и АМ и СК медианы по условию, то

     а) АК=КВ=ВМ=МС 

     б) уг ВАС = уг ВСА (по св-ву углов при основании р/б тр)

2) тр АКС = тр СМА по двум сторонам и углу между ними, так как в них:

    АС - общая сторона

    АК = СМ (по п.1а)

    уг КАС = уг МСА (по п.1б)

    Следовательно, уг АКС = уг СМА и уг АСК = уг САМ

3) уг МАК = уг КСМ, как разность равных углов за минусом равных углов, по аксиоме измерения углов,

а именно уг МАК = уг ВАС - уг САМ и

                 уг КСМ = уг ВСА - уг АСК

4) Получили:

        АК = СМ (из п 1а)

       уг МАК = уг КСМ (из п 3)

       уг АКС = уг СМА  ( из п 2)

 следовательно, тр АОК = тр СОМ по стороне и двум прилежащим к ней углам

7

Теорема косинусов для треугольника AМC

AC^2=AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC

Теорема косинусов для треугольника BМC

BC^2=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

AC=BC (треугольник равносторонний) Тогда AC^2=BC^2

AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

AM^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2-2*BM*CM*cosBMC

АМ и ВM знаем

2^2-2*2*CM*cosAMC=10^2-2*10*CM*cosBMC

4-4*CM*cosAMC=100-20*CM*cosBMC

Углы ВМС и ВАС равны, опираются на одну дугу. ВАС=60 - равносторонний треугольник.

Угол АМС=АМВ+ВМС=АСВ+ВАС=60+60=120

4-4*CM*cos120=100-20*CM*cos60

4-4*CM*(-1/2)=100-20*CM*1/2

4+2*CM=100-10*CM

12*CM=96

СМ=8