Основания трапеции равны 20 и 10, а боковые стороны 6 и 8. найдите радиус окружности, проходящей через концы меньшей боковой стороны и касающейся прямой, содержащей другую боковую сторону.

Решение.
Сделаем рисунок, обозначим вершины углов трапеции привычными АВСD.
Точку касания окружности с прямой, которая содержит сторону СD, обозначим Н.

Середину АD обозначим М.
Продолжим АВ до пересечения с продолжением СD и точку пересечения обозначим К.
ВС равна половине АD по условию задачи, и потому, будучи параллельной ей,

является средней линией треугольника АКD.
Следовательно,

КС=СD,

ВК=АВ=6
Соединим С с серединой М основания АD.
СМ - параллельна АВ как вторая средняя линия треугольника АКD, так как АМ=МD и KC=CD.
Рассмотрим треугольник МСD.
Его стороны МС=6, CD=8, MD=10 и относятся как 3:4:5.
Это отношение - отношение сторон египетского треугольника -

и потому угол МСD- прямой.
Проверив это утверждение теоремой косинусов, или, что проще, теоремой Пифагора, сможем убедиться в его верности.
По той же причине ( отношение сторон треугольника АКD равно 3:4:5, угол АКD также прямой, а также еще потому, что АК|| МС.
Соединим центр окружности с вершинами А и В трапеции.
Получим равнобедренный треугольник АОВ.

Проведем высоту ОР ( она же и медиана этого треугольника) к АВ.
Рассмотрим четырехугольник РКНО.

В нем три угла прямые: угол ОНК прямой - так как радиус ОН перпендикулярен к касательной КD, угол КРО - как угол, образованный высотой равнобедренного треугольника АОВ, угол АКН - как соответственный углу МСD, следовательно, это - прямоугольник и сторона РК=ОН=R.
Так как выше доказано, что ВК=6, а РВ=половине АВ=3, РК=6+3=9 см
РК=ОН=R
Искомый радиус равен 9 см.