Основою піраміди є ромб, тупий кут я кого дорівнює 120°. дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом 30°. знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см2), якщо її висота дорівнює 4 см.
120 °. Две боковые грани пирамиды, содержащие стороны этого
угла, перпендикулярны к плоскости основания, а две другие
боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 30 °. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды (в см²), если ее высота равна 4 см.
-----------
Сделаем рисунок пирамиды и её основания.
Сумма углов параллелограмма при одной стороне равна 180°, ⇒
острый угол ромба равен 180°-120°=60°, ⇒
треугольники АВD и ВDС- равносторонние и равны между собой.
Площадь боковой поверхности пирамиды - сумма площадей всех ее граней, найденных для каждой по формуле
S=ah:2
Грани SВС и SВA - равные прямоугольные треугольники.
Их высота - общая с высотой пирамиды и равна 4 см
Плоскости двух других граней SDС и SDА ( они тоже равны между
собой по 2-м равным сторонам и одной общей) составляют с
плоскостью основания угол 30°.
Известно, что угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.
В равнобедренных треугольниках с общим основанием перпендикуляры из вершин, противолежащих основанию, пересекаются на нем в одной точке:
SE⊥DC
BE⊥DC
Угол SEВ=30°
Так как высота пирамиды перпендикулярна ее основанию,
⊿ SВE - прямоугольный, катет SВ противолежит углу 30°, и
SE ( она - гипотенуза ⊿ SBE и высота треугольника DSE ) равна 2SВ=8 см
Высоты граней известны, найдем сторону ромба.
Высота ромба
ВЕ=SE·соs(30°)=4√3 см
ВС=ВЕ:sin(60°)=(4√3):{(√3):2}=8 см
Можно обойтись без этих вычислений:
В прямоугольных треугольниках SBE и CBE равны углы и катет ВЕ.
Если острый угол и катет одного прямоугольного треугольника равны острому углу и катету другого - эти треугольники равны.
Найдены основания и высоты граней, следовательно:
S бок=2S⊿SАВ+2S△SDС
S⊿SАВ=ВS·AВ:2=4*8:2=16 см²
S△SDС=SE·CD:2=8·8:2=32 см²
S бок=2·16 + 2·32=96 см²
-------------
[email protected]