пусть первый четырехугольник: АВСД, середины сторон соответственно:
а - АВ, в - ВС, с - СД, д - ДА,
т.е. Аа=аВ, Вв=вС, Сс=сД, Дд=дА
известны длины диагоналей АС = 18 и ВД=32, надо найти периметр четырехугольника авсд.
1) нарисуй чертеж - и посмотри на треугольники АВС и аВв.
у них:
- углы АВС и аВв равны (это один и тот же угол - В),
- стороны АВ и ВС пропорциональны аВ и Вв (аВ=1/2 АВ, а вВ=1/2ВС),
значит, треугольники подобны и, соответственно, ав = 1/2 АС = 9,
а также равны углы Вав=ВАС, Вва=ВСА - следовательно стороны ав и АС - параллельны.
2) аналогично расссмотрим треугольники АДС и дДс - они тоже подобны,
и, соответственно, стороны дс и АС параллельны и да=1/2 АС,
и, вспомнив 1) - находим, что ав параллельно дс и ав=дс=1/2 АС
3) аналогично рассмотрим треугольники ВСД и вСд - аналогично докажем, что они тоже подобны и найдем, что ВД параллельно вд и вд=1/2 ВД,
а также подобны треугольники ВАД и аАс, и соответственно, получим, что ВД параллельно ас и ас=1/2ВД
следовательно ас параллельно вд и ас=вд=1/2 ВД=16
4) т.е. мы увидели, что малый четырехугольник у нас - параллелограмм (это, в принципе, не важно, но красиво), но главное - мы знаем все его стороны: 9,16,9,16, соответственно, периметр равен
Объем призмы находится по формуле: V = S * h, где S - площадь основания, h - высота призмы.
Для того, чтобы найти площадь правильного шестиугольника, нужно найти его сторону. Сторона шестиугольника равна радиусу его описанной окружности.
Треугольник F1C1C - прямоугольный => cos α = F1C1 / F1C cos α = F1C1 / l F1C1 = l * cos α
F1C1 - диаметр описанной окружности. R = OC1 = (l * cos α) / 2 Соединив точку О со всеми вершинами шестиугольника A1B1C1D1E1F1 мы получим шесть равных равносторонних треугольников. Значит площадь шестиугольника равна шести площадям этих треугольников. Площадь треугольника находим по следующей формуле:
S = 0,5 * a * b * sin α, где α - угол между сторонами a и b. Так как мы находим площадь равностороннего треугольника α будет равен 60°.
S BOC1 = 0,5 * ((l * cos α) / 2) * ((l * cos α) / 2) * sin 60° = 0,5 ((l ² * cos ² α) / 4) * (√3) / 2 = ((√3) * l ² * cos ² α) / 16.
S A1B1C1D1E1F1 = S BOC1 * 6 = (( (√3) * l ² * cos ² α) / 16) * 6 = (3 * (√3) * l ² * cos ² α) / 8.
Высоту CC1 можно вычислить из треугольника F1C1C - sin α = C1C / F1C sin α = C1C / l C1C = l * sin α
V = ((3 * (√3) * l ² * cos ² α) / 8) * (l * sin α) = (3 * (√3) * l ³ * cos ² α * sin α) / 8.
пусть первый четырехугольник: АВСД, середины сторон соответственно:
а - АВ, в - ВС, с - СД, д - ДА,
т.е. Аа=аВ, Вв=вС, Сс=сД, Дд=дА
известны длины диагоналей АС = 18 и ВД=32, надо найти периметр четырехугольника авсд.
1) нарисуй чертеж - и посмотри на треугольники АВС и аВв.
у них:
- углы АВС и аВв равны (это один и тот же угол - В),
- стороны АВ и ВС пропорциональны аВ и Вв (аВ=1/2 АВ, а вВ=1/2ВС),
значит, треугольники подобны и, соответственно, ав = 1/2 АС = 9,
а также равны углы Вав=ВАС, Вва=ВСА - следовательно стороны ав и АС - параллельны.
2) аналогично расссмотрим треугольники АДС и дДс - они тоже подобны,
и, соответственно, стороны дс и АС параллельны и да=1/2 АС,
и, вспомнив 1) - находим, что ав параллельно дс и ав=дс=1/2 АС
3) аналогично рассмотрим треугольники ВСД и вСд - аналогично докажем, что они тоже подобны и найдем, что ВД параллельно вд и вд=1/2 ВД,
а также подобны треугольники ВАД и аАс, и соответственно, получим, что ВД параллельно ас и ас=1/2ВД
следовательно ас параллельно вд и ас=вд=1/2 ВД=16
4) т.е. мы увидели, что малый четырехугольник у нас - параллелограмм (это, в принципе, не важно, но красиво), но главное - мы знаем все его стороны: 9,16,9,16, соответственно, периметр равен
ав+вс+сд+ад=50
Объем призмы находится по формуле: V = S * h, где S - площадь основания, h - высота призмы.
Для того, чтобы найти площадь правильного шестиугольника, нужно найти его сторону.
Сторона шестиугольника равна радиусу его описанной окружности.
Треугольник F1C1C - прямоугольный => cos α = F1C1 / F1C
cos α = F1C1 / l
F1C1 = l * cos α
F1C1 - диаметр описанной окружности. R = OC1 = (l * cos α) / 2
Соединив точку О со всеми вершинами шестиугольника A1B1C1D1E1F1 мы получим шесть равных равносторонних треугольников.
Значит площадь шестиугольника равна шести площадям этих треугольников.
Площадь треугольника находим по следующей формуле:
S = 0,5 * a * b * sin α, где α - угол между сторонами a и b.
Так как мы находим площадь равностороннего треугольника α будет равен 60°.
S BOC1 = 0,5 * ((l * cos α) / 2) * ((l * cos α) / 2) * sin 60° = 0,5 ((l ² * cos ² α) / 4) * (√3) / 2 = ((√3) * l ² * cos ² α) / 16.
S A1B1C1D1E1F1 = S BOC1 * 6 = (( (√3) * l ² * cos ² α) / 16) * 6 = (3 * (√3) * l ² * cos ² α) / 8.
Высоту CC1 можно вычислить из треугольника F1C1C - sin α = C1C / F1C
sin α = C1C / l
C1C = l * sin α
V = ((3 * (√3) * l ² * cos ² α) / 8) * (l * sin α) = (3 * (√3) * l ³ * cos ² α * sin α) / 8.