От В треугольниках АВС и MPK АВ = PK, ВС = MK, АС = PM. Если ∠A = 60°, то
1) ∠K = 60°
2) ∠P = 60°
3) ∠M ≠ 60°, ∠P ≠ 60°, ∠K ≠ 60°
4) ∠M = 60°

Через прямую ВВ₁ и ВС можно провести единственную плоскость.
Так как точка D лежит на ВС, она лежит в этой плоскости.
DD₁║BB₁ и CC₁║BB₁ значит DD₁ и СС₁ так же лежат в этой плоскости.
Эта плоскость пересекает плоскость α по прямой В₁С₁, значит и точка D₁ лежит на линии пересечения плоскостей.
Итак, В₁ВСС₁ - плоский четырехугольник, у которого две стороны параллельны, т.е. трапеция.
DD₁ параллелен основаниям трапеции и проходит через середину боковой стороны, значит является средней линией.
DD₁ = (СС₁ + ВВ₁)/2 = (12 + 2)/2 = 7 см

Скольку луч с проходит между сторонами угла (ab), по свойству измерения углов получаем: ∠(ac) + ∠(bc) = ∠(ab). 1) ∠(ab) = ∠(bc) + ∠(bc) + 30°, 60° = 2 ⋅ ∠(bc) + 30°; 2 ⋅ ∠(bc) = 30°; ∠(ac) = 45°, ∠(bc) = 15°. 2) ∠(ab) = 2 ⋅ ∠(bc) + ∠(bc), 60° = 3 ⋅ ∠(bc), ∠(ac) = 40°, ∠(bc) = 20°. 3) ∠(ac) = ∠(bc) = ∠(ab) : 2 = 60° : 2 = 30°. 4) ∠(ac) = 2x, ∠(bc) = 3x, ∠(ab) = 60°, 2x + 3x = 60°, 5x = 60°, x = 12°. ∠(ac) = 24°, ∠(bc) = 36°. ответ: 1) ∠(ac) = 45°, ∠(bc) = 15°; 2) ∠(ac) = 40°, ∠(bc) = 20°; 3)∠(ac) = 30°, ∠(bc) = 60°; 4)∠(ac) = 24°, ∠(bc) = 36°.