ABCD трапеция с основаниями BС и АD площадью 20. CK-биссектриса угла С, К принадлежит АD, BC=3, AD=7, CD=5, CK пересекает BD в точке O. Найти площадь треугольника BOC.
Пусть AA1, BB1 и CC1 – биссектрисы треугольника ABC и ∠B = 120°. На продолжении стороны AB за точку B возьмём точку K. Поскольку
∠A1BK = 180° – 120° = 60° = ∠B1BE, то BA1 – биссектриса угла B1BK, смежного с углом ABB1. Поэтому точка A1 равноудалена от прямых AB и B1B, а так как она лежит на биссектрисе угла A, то она равноудалена от прямых AB и CB1. Значит, точка A1 равноудалена от сторон угла BB1C, то есть B1A1 – биссектриса угла BB1C. Аналогично B1C1 – биссектриса угла AB1B.
ABCD трапеция с основаниями BС и АD площадью 20. CK-биссектриса угла С, К принадлежит АD, BC=3, AD=7, CD=5, CK пересекает BD в точке O. Найти площадь треугольника BOC.
Дано: ABCD трапеция , BC || AD ,
S =S(ABCD) =20 , BC =3 , AD =7 , CD =5 ,
∠BCK = ∠DCK = ∠C /2 ,
K ∈ [AD] , [CK] ∩ [BD] =0 - - - - - - - S(ΔBOC) -?
ответ: 2,25 кв. единиц
Объяснение: Через точку O проведем высоту трапеции : H₁H₂ ⊥ AD
Пусть H₁H₂ =h , OH₁ =h₁ , OH₂ =h₂ . h₂ = h -h₁
S(ΔBOC) =BC*OH₁/2 = 3*h₁ / 2
S =S(ABCD) =( (BC+AD)/2 ) *h ⇒ h=2S/(BC+AD) =2*20/(3+7) = 4
h₂ = 4 -h₁ _ _ _ _ _ __ _
ΔBOC ~ΔDOK , поскольку ∠BCK = ∠DKC и ∠CBD = ADB ( как накрест лежащие углы)
BO/DO = OH₁/OH₂
с другой стороны BO/DO= BC/DC =3/5 ( свойство биссектриса ) * * * CO биссектриса угла BCD в Δ BCD) * * *
следовательно 3/5 =h₁/(4-h₁) ⇒ h₁ = 3/2 и
S(ΔBOC) = 3*h₁ /2 = 9/4 .
см приложения
Пусть AA1, BB1 и CC1 – биссектрисы треугольника ABC и ∠B = 120°. На продолжении стороны AB за точку B возьмём точку K. Поскольку
∠A1BK = 180° – 120° = 60° = ∠B1BE, то BA1 – биссектриса угла B1BK, смежного с углом ABB1. Поэтому точка A1 равноудалена от прямых AB и B1B, а так как она лежит на биссектрисе угла A, то она равноудалена от прямых AB и CB1. Значит, точка A1 равноудалена от сторон угла BB1C, то есть B1A1 – биссектриса угла BB1C. Аналогично B1C1 – биссектриса угла AB1B.
Следовательно, (∠AB1B + ∠BB1C) = ½ *180° = 90°.