Когда известны диагонали трапеции, часто решение сводится к дополнительному построению. Проведем через вершину В прямую, параллельно диагонали АС до пересечения с продолжением основания DC в точке Е. Тогда в треугольнике DBE имеем: <BED=<CAB=2α (противоположные углы параллелограмма), <BDE=<DBA=α (внутренние накрест лежащие углы при параллельных АВ и DC и секущей ВD). По теореме синусов в треугольнике DBE имеем: а/sinα=1,4a/sin2α или а/sinα=1,4a/2sinα*cosα. Отсюда Сosα=0,7. Тогда Sinα=√(1-0,49)=√0,51. Угол между диагоналями трапеции ВОС равен 3α как внешний угол при вершине О в треугольнике АОВ (он равен сумме двух не смежных с ним углов треугольника). Применяем формулу приведения для угла с тройным аргументом: Sin3α=3sinα-4sin³α. В нашем случае Sin3α=3√0,51-4*0,51*√0,51 или Sin3α=0,96√0,51. Тогда площадь трапеции равна Sabcd=(1/2)*AC*BD*Sin3α. Или Sabcd=(1/2)*а*1,4а*0,96√0,51 или Sabcd=0,672√0,51*a². ответ: Sabcd=0,672√0,51*a².
Можно попробовать не переходить на угол тройного аргумента, а ограничиться углом двойного аргумента: Найдем по Пифагору высоту ВН треугольника DBE: h=DB*Sinα или h=1,4a√0,51. Найдем DH=DB*Cosα или DH=1,4a*0,7=0,98a. Cos2α=1-Sin²α. Найдем HE=BE*Cos2α или HE=a*(-0,02)=-0,02a. (Хитрая трапеция получается!) DE=DH+HE=0,96*a. Тогда площадь треугольника DBE Sdbe=(1/2)*DE*h или Sdbe=(1/2)*0,96a*1,4a√0,51=0,672√0,51*a². Но площадь трапеции АВСD равна площади треугольника DBE (доказывать не надо?). Тогда ответ тот же: Sabcd=0,672√0,51*a².
Так как у ромба все стороны равны, то каждая сторона равна 42/4=10,5 (см) ромб-параллелограмм, значит диагонали точкой пересечения делятся пополам и отношение их половин такое же, как и самих диагоналей: 5/12 Диагонали в ромбе пересекаются под прямым углом, значит диагонали разбивают ромб на 4 прямоугольных треугольника, Рассмотрим любой из них, так как отношение половин диагоналей 5/12, а сторона ромба равна 10,5, то по теореме Пифагора, приняв половину одной диагонали за 5х, а другой 12 х имеем 110,25=25х^2+144x^2 110,25=169x^2 10.5=13x x=21/26 отсюда половины диагоналей равны: 21*5/26=105/26 и 12*21/26=126/13 а сами диагонали равны соответственно 105*2/26=105/13 и 126*2/13=252/13 Так как площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, то площадь равна=105*252/(13*13*2)=26460/338=13230/119
Проведем через вершину В прямую, параллельно диагонали АС до пересечения с продолжением основания DC в точке Е.
Тогда в треугольнике DBE имеем: <BED=<CAB=2α (противоположные углы
параллелограмма),
<BDE=<DBA=α (внутренние накрест лежащие углы при параллельных АВ и DC и
секущей ВD).
По теореме синусов в треугольнике DBE имеем:
а/sinα=1,4a/sin2α или а/sinα=1,4a/2sinα*cosα.
Отсюда Сosα=0,7. Тогда Sinα=√(1-0,49)=√0,51.
Угол между диагоналями трапеции ВОС равен 3α как внешний угол при вершине О в треугольнике АОВ (он равен сумме двух не смежных с ним углов треугольника).
Применяем формулу приведения для угла с тройным аргументом:
Sin3α=3sinα-4sin³α.
В нашем случае Sin3α=3√0,51-4*0,51*√0,51 или
Sin3α=0,96√0,51.
Тогда площадь трапеции равна
Sabcd=(1/2)*AC*BD*Sin3α. Или
Sabcd=(1/2)*а*1,4а*0,96√0,51 или Sabcd=0,672√0,51*a².
ответ: Sabcd=0,672√0,51*a².
Можно попробовать не переходить на угол тройного аргумента, а ограничиться
углом двойного аргумента:
Найдем по Пифагору высоту ВН треугольника DBE: h=DB*Sinα или h=1,4a√0,51.
Найдем DH=DB*Cosα или DH=1,4a*0,7=0,98a.
Cos2α=1-Sin²α.
Найдем HE=BE*Cos2α или HE=a*(-0,02)=-0,02a. (Хитрая трапеция получается!)
DE=DH+HE=0,96*a. Тогда площадь треугольника DBE
Sdbe=(1/2)*DE*h или
Sdbe=(1/2)*0,96a*1,4a√0,51=0,672√0,51*a².
Но площадь трапеции АВСD равна площади треугольника DBE (доказывать не надо?).
Тогда ответ тот же: Sabcd=0,672√0,51*a².
ромб-параллелограмм, значит диагонали точкой пересечения делятся пополам и отношение их половин такое же, как и самих диагоналей: 5/12
Диагонали в ромбе пересекаются под прямым углом, значит диагонали разбивают ромб на 4 прямоугольных треугольника, Рассмотрим любой из них, так как отношение половин диагоналей 5/12, а сторона ромба равна 10,5, то по теореме Пифагора, приняв половину одной диагонали за 5х, а другой 12 х имеем 110,25=25х^2+144x^2
110,25=169x^2
10.5=13x
x=21/26
отсюда половины диагоналей равны: 21*5/26=105/26 и 12*21/26=126/13
а сами диагонали равны соответственно 105*2/26=105/13 и 126*2/13=252/13
Так как площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, то
площадь равна=105*252/(13*13*2)=26460/338=13230/119