Отрезки AB и CD пересикаются в точке О, являющийся серединой каждого из них. Докажите, что а) треугольник AOD и BOC равны б) треугольник DAO = треугольнику CBO
Пусть АВ-хорда окружности, а точка О-её центр. Угол АОВ= 120 градусов (по условию). Рассмотрим треугольник АОВ, он равнобедренный, угол АОВ=120 градусов, а два других угла равны (180-120):2=30 градусов. По теореме синусов АО/синус угла АВО=АВ/синус угла АОВ, откуда R=АО=синус 30 градусов*12корней из 3:синус угла АОВ. R=12.
По формуле длины дуги окружности находим: L=число пи*R*120:180=3,14*12*120:180=25,12 (приблизительно, так за число пи берём округлённое его значение). Площадь кругового сектора S=число пи*R в квадрате*120:360=3,14*144*120:360=150,72
Поскольку в пересечении медиан образуется две пары вертикальных углов, каждая из которых может состоять из углов равных 60 градусам, то есть 2 решения, ответы в каждом из них будут разные. Я опишу один вариант, второй решается аналогично
Треугольник АНС = треугольнику АМС (по трем сторонам: АН=МС (АМ и НС медианы, проведённые к боковым сторонам), АС общая сторона, НС=АМ).
Пусть АВ-хорда окружности, а точка О-её центр. Угол АОВ= 120 градусов (по условию).Рассмотрим треугольник АОВ, он равнобедренный, угол АОВ=120 градусов, а два других угла равны (180-120):2=30 градусов.
По теореме синусов АО/синус угла АВО=АВ/синус угла АОВ, откуда R=АО=синус 30 градусов*12корней из 3:синус угла АОВ. R=12.
По формуле длины дуги окружности находим:
L=число пи*R*120:180=3,14*12*120:180=25,12 (приблизительно, так за число пи берём округлённое его значение).
Площадь кругового сектора S=число пи*R в квадрате*120:360=3,14*144*120:360=150,72
Поскольку в пересечении медиан образуется две пары вертикальных углов, каждая из которых может состоять из углов равных 60 градусам, то есть 2 решения, ответы в каждом из них будут разные. Я опишу один вариант, второй решается аналогично
Треугольник АНС = треугольнику АМС (по трем сторонам: АН=МС (АМ и НС медианы, проведённые к боковым сторонам), АС общая сторона, НС=АМ).
угол НОМ = углу АОС = (180 -60*2)/2 = 120 градусов( вертикальные углы)
угол МАС = углу НСА = (180 -120)/2= 30 градусов (соответственные углы равных треугольников, а сумма углов треугольника ровна 180 градусов)
Проведем среднюю линию НМ.
Треугольник НМО подобен треугольнику АОС ( угол НОМ = углу АОС (вертикальные углы), а угол НМА = углу МАС (соответственные углы))
Найдем коэффициент подобия к (отношение соответственных сторон подобных треугольников)
к= НМ/АС=2 (средняя линия в 2 раза меньше основания треугольника)
Если к=2, то АО/ОМ=2/1.
Проведем в треугольнике НМО высоту ОТ ,также она будет являться биссектрисой(НМО- равнобедренный), значит угол ТОМ = 120/2=60 градусов.
ТОМ = 1/ 2 НО (напротив угла в 30 градусов лежит катет в 2 раза меньше гипотенузы)
Треугольник АНО подобен треугольнику ТОМ (ТО/НО=1/ 2, ОМ/АО=1/2, угол ТОМ = углу НОА= 60 градусов)
НАО= углу ТМО = 30 градусов (в подобных треугольниках соответственные углы равные)
Угол ВСА = углу ВАС = угол НАО+ угол ОАС = 30+30=60 градусов
Угол АВС = 180-60*2=60 градусов