Отрезки AP, BN и CM-биссектрисы внутренних углов треугольника ABC. Один из углов треугольника равен 120градусов. Найдите площадь треугольника PNM, если две стороны этого треугольника 8 и 17

1) L = 6√2 (см) ≈ 8,5 см;   2) А = 2√37 (см) ≈ 12,2 см

Объяснение:

1.

H = 8 см - высота пирамиды

а = 6 см - сторона основания

L - ? - длина бокового ребра пирамиды

-----------------------------------------------------------

Смотри прикреплённый рисунок

h = 0.5 a √3 = 0.5 · 6 · √3 = 3√3 (см) - высота треугольного основания

L пр = 2h/3 = 2 · 3√3 / 3 = 2√3 (см) - проекция ребра на основание пирамиды

Ребро L, высота пирамиды Н и проекция пирамиды на основание Lпр образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой  L.

По теореме Пифагора

L² = H² + L²пр = 8² + (2√3)² = 64 + 12 = 72

L = √72 = 6√2 (см) ≈ 8,5 см

2.

Н = 12 см - высота пирамиды

d = 4√2 см - диагональ квадратного основания пирамиды

А - ? - апофема пирамиды

-----------------------------------------------------------

Смотри прикреплённый рисунок

0,5а = 0,5d · cos 45° = 0.5 · 4√2 : √2 = 2 (см) - половина стороны квадратного основания пирамиды

Апофема А, высота Н пирамиды и половина стороны основания 0,5а образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой А.

По теореме Пифагора

А² = Н² + (0,5а)² = 12² + 2² = 144 + 4 = 148

А = √148 = 2√37 (см) ≈ 12,2 см

Для любого
Рисуем произвольный треугольник со вписанной в него окружностью
Разбиваем его линиями из центра вписанной окружности к вершинам на три дочерних треугольника.
Площадь большого при этом будет равна сумме площадей трёх маленьких
S = 1/2*a*h₁ + 1/2*b*h₂ + 1/2*c*h₃
Высоты всех трёх маленьких треугольников равны радиусу вписанной окружности
 h₁ = h₂ = h₃ = r
S = 1/2*a*r + 1/2*b*r + 1/2*c*r
S = 1/2(a + b + c)*r
Сумма трёх сторон - периметр, делённая пополам - полупериметр p
p = 1/2(a + b + c)
Итого
S = rp