Отрезки км и во пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. доказать, что треугольник квм равен треугольнику мко. (через дано, доказать, решение)

Если двугранные углы при основании пирамиды равны, то высота пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание - точку О, и высоты боковых граней равны.

Сначала выразим в основании все нужные величины:

АН : ВН = ctg (α/2)  ⇒  AH = BH · ctg(α/2) = 

BH : AB = sin(α/2)  ⇒  AB = BH / sin(α/2) = 

Pabc = 2AB + BC = a/sin(α/2) + a

Sabc = 1/2 · BC · AH = 1/2 · a · a/2 · ctg(α/2) = a²/4 · ctg(α/2)

r = 2Sabc / Pabc

r = 2· a²/4 · ctg(α/2) / (a/sin(α/2) + a) = a·cos(α/2) / (2 + 2sin(α/2))

ΔSOH:

OH : SH = cosβ  ⇒  SH = OH / cosβ = r / cosβ = 2Sabc / (Pabc · cosβ)

Теперь площадь полной поверхности:

S = Sбок + Sосн = 1/2 · Pabc · SH + Sabc

S = 1/2 · Pabc · 2Sabc / (Pabc · cosβ) + Sabc

S = Sabc/cosβ + Sabc = Sabc · (1/cosβ + 1)

S = a²/4 · ctg(α/2) · (1/cosβ + 1)

Вообще, если боковые грани наклонены под одним углом к основанию

Sосн /Sбок = cosβ

Высота пирамиды:

ΔSOH:

SO / r = tgβ

SO = r · tgβ = a·cos(α/2) · tgβ / (2 + 2sin(α/2))

1. 10

2. 20√2 см²

3. 36 см²

4. а)  (2; 2√3)

   б) (- 4√3; 4)

5. а) (3√3; 3)

   б) (- 5; 5√3)

Объяснение:

1.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними:

Smnk = 1/2 · MN · NK · sin∠MNK

sin∠MNK = sin 150° = sin (180° - 30°) = sin 30° = 1/2

20 = 1/2 · 8 · NK · 1/2

20 = 2 · NK

NK = 20 / 2 = 10

2.

Площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними.

S = 5 · 8 · sin 45° = 40 · √2/2 = 20√2 см²

3.

Площадь любого четырехугольника можно найти как половину произведения диагоналей на синус угла между ними.

Диагонали прямоугольника равны.

S = 1/2 d² · sin 30° = 1/2 · 12² · 1/2 = 36 см²

4.

а) А - точка пересечения луча ОМ с единичной окружностью.

Координаты точки А:

xₐ = cos 60° = 1/2

yₐ = sin 60° = √3/2

ΔOAB подобен ΔOMK по двум углам (угол О общий, ∠В = ∠К = 90°), ⇒

x : xₐ = OM : OA

x = xₐ · OM = 1/2 · 4 = 2

Аналогично,

y = yₐ · OM = √3/2 · 4 = 2√3

б)  xₐ = cos 150° = cos (180° - 30°) = - cos 30° = - √3/2

    yₐ = sin 150° = sin (180° - 30°) = sin 30° = 1/2

x = xₐ · OM = - √3/2 · 8 = - 4√3

y = yₐ · OM = 1/2 · 8 = 4

5.

а) xₐ = cos 30° = √3/2

   yₐ = sin 30° = 1/2

x = xₐ · OР = √3/2 · 6 = 3√3

y = yₐ · OP = 1/2 · 6 = 3

б) xₐ = cos 120° = cos (180° - 60°) = - cos 60° = - 1/2

    yₐ = sin 120° = sin (180° - 60°) = sin 60° = √3/2

x = xₐ · OP = - 1/2 · 10 = - 5

y = yₐ · OP = √3/2 · 10 = 5√3