«Паралельність прямих і площин» Варіант 1
Початковий та середній рівень навчальних досягнень
1. Через які з наведених фігур можна провести площину і до того ж
тільки одну? А) дві прямі, що мають спільну точку;
Б) три точки; В) точку і пряму; Г) дві будь-які прямі.
2. Пряма �� перетинає площину трикутника АВС у точці В. Вкажіть
пряму, що мимобіжна з �� і містить сторону трикутника.
А) АВ; Б) ВС; В) АС; Г) такої прямої не існує.
3. Скільки прямих, паралельних даній, можна провести через точку
простору, що не належить цій прямій?
А) одну; Б) дві; В) жодної; Г) безліч.
4. Бічні сторони трапеції паралельні площині α. Яке взаємне
розміщення площини трапеції і площини α?
А)паралельні; Б)перетинаються; В)збігаються; Г)визначити неможливо
5. Катет АС прямокутного трикутника АВС лежить у площині α, а
вершина В не лежить у цій площині. На гіпотенузі АВ позначено точку
D, через яку проведено пряму DР ┴ ВС. Яке взаємне розміщення прямої
DР і площини α? Виконайте малюнок.
А)DР перетинає α;Б)DР паралельна α;В)DР лежить у α;Г)не визначається
Достатній рівень навчальних досягнень
6. Сторона АС трикутника АВС лежить у площині α. Через середину ВА
– точку М, проведено площину β, паралельну площині α, що перетинає
ВС у точці К. Знайдіть МК, якщо АС = 10 см.
7. На рисунку точки М, Н, Р – середини відрізків АD, DС, АВ
відповідно, РК║МН. Знайдіть периметр чотирикутника МНКР,
якщо АС = 8 см, ВD = 10 см.
Високий рівень навчальних досягнень
8. Площини α і β паралельні між собою. Точка С не належить жодній із
площин і не лежить між ними. Через цю точку проведено дві прямі.
Одна з них перетинає площини α і β у точках А 1 і В 1 , а друга – у точках
А 2 і В 2 відповідно. Знайдіть довжину відрізка А 1 А 2 ,
якщо СВ 1 = m, А 1 В 1 = n, В 1 В 2 = k і СА 2 < СВ 2 .
ВВ₁ и DD₁ - медианы, значит
AD₁ = D₁B = AB₁ = B₁D = 3/2 см
ΔABD равнобедренный, поэтому
∠ABD = ∠ADB,
BD₁ = DB₁, BD - общая сторона для ΔDD₁B и ΔBB₁D, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
BB₁ = DD₁.
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Обозначим OD₁ = OB₁ = x, тогда OD = OB = 2x.
ΔOBD равнобедренный, значит ∠OBD = ∠ODB = 40°.
∠D₁OB = ∠OBD + ∠ODB = 80° как внешний угол ΔDOB.
Рассмотрим ΔD₁OB. По теореме косинусов
D₁B² = OD₁² + OB² - 2·OD₁·OB·cos 80°
9/4 = x² + 4x² - 2 · x · 2x · cos80°
9/4 = 5x² - 4x² · cos80°
9/4 = x² (5 - 4cos80°)
x² = 9 / (4(5 - 4cos80°))
x = 3 / (2√(5 - 4cos80°))
BB₁ = 3x = 9 / (2√(5 - 4cos80°)) или
Если необходимо числовое значение, а не выражение, можно взять значение cos 80° по таблице, тогда получится:
cos 80° ≈ 0,1736
BB₁ = 9 / (2√(5 - 4cos80°)) ≈ 2,2
R=3/cos 18=3/0.95=3.15 (см).
Найдем сторону фигуры:
a=2*3.15*sin 180/n=2*3.15*0.3=1.89 (см)
ответ: 1.89 см.
2) Найдем R:
R = r/cos 180/n=5/√3/2=10√3/3 (см)
Длина стороны равна R, следовательно a=R=10√3/3, значит,
P = 6a=10√3/3*6=20√3 (cм) или 34.64 см.
ответ: 20√3 см или 34.64 см.
3) Радиус описанной около 6-угольника окружности = длине стороны, следовательно R = 5√3 см. Для треугольника эта же окружность является вписанной, т.е. для треугольника r=5√3. В свою очередь, R=2r=2*5√3=10√3 (см). Сторону правильного треугольника можно вычислить по формуле a=R√3=10√3*√3=10*3=30 (см).
ответ: 30 см.