Средние линии треугольника параллельны стороне, которую не пересекают. При этом соответственные углы, которые получаются при пересечении параллельных сторон третьей, равны.
Треугольник, образованный средним линиями исходного треугольника, подобен ему. Поэтому отношение сторон обоих треугольников одинаково.
Периметр треугольника, образованного средними линиями, 40 см,
его стороны относятся как 2:3:5.
Примем коэффициент отношения сторон равным а. тогда периметр меньшего треугольника 2а+3а+5а=10а ⇒
10а=40
а=4 см
2а=8 см, 3а=12 см, 5а=20 см
Стороны треугольника, образованного средними линиями исходного.
8 см, 12 см, 20 см.
---------
Примечание. Именно так решаются подобные задачи. НО! Здесь получается, что большая сторона равна сумме двух других. В решении по данному условию не может быть выполнено правило о неравенстве треугольника, по которому любая сторона треугольника не может быть равна или больше суммы двух других. Вопрос не удален, так как задача с таким же условием давалась другим пользователем и в другое время, значит, составлена с ошибкой.
Находим угол АОВ с учетом того, что АО и ОВ - биссектрисы углов А и В (по свойству центра вписанной окружности): АОВ = 180-(1/2)А-(1/2)В = 180-((1/2)(А+В)) = 180-((1/2)(180-60) = = 180-90+30 = 120°. Зная 2 стороны и угол, находим сторону АВ треугольника АОВ: АВ =√(6²+10²-2*6*10*cos120) = √36+100-120*(-1/2)) = √196 = 14 см. Зная стороны треугольника АОВ, находим углы А и В (А = 2*ВАО, В =2*АВО) по теореме синусов. sin BAO = sin120*10/14 = 0.866025*10/14 = 0.6185896°. Угол ВАО = arc sin 0.6185896 = 0.6669463 радиан = 38.213211° Угол А = 2* 38.213211 = 76.426421°. sin ВAO = sin120*6/14 = 0.3711537. Угол ВАО = arc sin 0.3711537 = 0.3802512 радиан = 21.786789°. Угол В = 2* 21.786789 = 43.573579°. Зная углы треугольника АВС и одну сторону АВ = 14 см, находим 2 другие по теореме синусов: ВС = 14*sin A /sin C = 14* 0.972069 / 0.866025 = 15.71428571 см. АС = 14*sin В /sin C = 14* 0.6892855 / 0.866025 = 11.14285714 см. Находим площадь треугольника АВС по формуле Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = 75.82141 см². Здесь р = (а+в+с)/2 = 20.428571 см. Радиус описанной окружности R = abc / 4S = 8.0829038 см.
Средние линии треугольника параллельны стороне, которую не пересекают. При этом соответственные углы, которые получаются при пересечении параллельных сторон третьей, равны.
Треугольник, образованный средним линиями исходного треугольника, подобен ему. Поэтому отношение сторон обоих треугольников одинаково.
Периметр треугольника, образованного средними линиями, 40 см,
его стороны относятся как 2:3:5.
Примем коэффициент отношения сторон равным а. тогда периметр меньшего треугольника 2а+3а+5а=10а ⇒
10а=40
а=4 см
2а=8 см, 3а=12 см, 5а=20 см
Стороны треугольника, образованного средними линиями исходного.
8 см, 12 см, 20 см.
---------
Примечание. Именно так решаются подобные задачи. НО! Здесь получается, что большая сторона равна сумме двух других. В решении по данному условию не может быть выполнено правило о неравенстве треугольника, по которому любая сторона треугольника не может быть равна или больше суммы двух других. Вопрос не удален, так как задача с таким же условием давалась другим пользователем и в другое время, значит, составлена с ошибкой.
АОВ = 180-(1/2)А-(1/2)В = 180-((1/2)(А+В)) = 180-((1/2)(180-60) =
= 180-90+30 = 120°.
Зная 2 стороны и угол, находим сторону АВ треугольника АОВ:
АВ =√(6²+10²-2*6*10*cos120) = √36+100-120*(-1/2)) = √196 = 14 см.
Зная стороны треугольника АОВ, находим углы А и В (А = 2*ВАО, В =2*АВО) по теореме синусов.
sin BAO = sin120*10/14 = 0.866025*10/14 = 0.6185896°.
Угол ВАО = arc sin 0.6185896 = 0.6669463 радиан = 38.213211°
Угол А = 2* 38.213211 = 76.426421°.
sin ВAO = sin120*6/14 = 0.3711537.
Угол ВАО = arc sin 0.3711537 = 0.3802512 радиан = 21.786789°.
Угол В = 2* 21.786789 = 43.573579°.
Зная углы треугольника АВС и одну сторону АВ = 14 см, находим 2 другие по теореме синусов:
ВС = 14*sin A /sin C = 14* 0.972069 / 0.866025 = 15.71428571 см.
АС = 14*sin В /sin C = 14* 0.6892855 / 0.866025 = 11.14285714 см.
Находим площадь треугольника АВС по формуле Герона:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = 75.82141 см².
Здесь р = (а+в+с)/2 = 20.428571 см.
Радиус описанной окружности R = abc / 4S = 8.0829038 см.