Точка А переходит в точку С по одной окружности, а точка В в точку Д по другой окружности, но чтобы это происходило одновременно, то есть отрезок АВ переходил в СД, окружности должны быть концентрическими (иметь общий центр). Точки А и С лежат на одной окружности, значит АС - её хорда. Одновременно ВД - хорда другой окружности. Из школьного курса известно, что диаметр, перпендикулярный к хорде, делит её пополам, обратным следствием чего является то, что срединный перпендикуляр, восстановленный к хорде, проходит через центр окружности. Восстановив срединные перпендикуляры к хордам АС и ВД получим точку их пересечения. Это и будет центр двух окружностей или центр поворота.
Если точка C лежит на оси абсцисс и равноудалена от точек A и B, то она принадлежит перпендикуляру, проведенному из середины отрезка АВ до пересечения с осью Ох. Уравнение прямой АВ: (х+1)/(3+1) = у(-3)/(8-2), АВ: 6х + 6 = 4у - 8. Получаем уравнение прямой АВ с коэффициентом: у = (6х + 14)/4 = (3/2)х + (7/2). Находим координаты точки Д - середины отрезка АВ: Д(-1+3)/2=1; (2+8)/2=5) = (1; 5). Уравнение перпендикуляра ДС, проведенного из середины отрезка АВ, имеет коэффициент перед х, равный (-1/к), где к - это коэффициент прямой АВ. ДС: у = (-2/3)х + в. Для определения параметра в подставим известные координаты точки Д: 5 = (-2/3)*1 + в. Отсюда в = 5 + (2/3) = 17/3. Уравнение ДС: у = (-2/3)х + (17/3). Абсцисса точки С определится при подстановке в уравнение прямой ДС у = 0. 0 = (-2/3)х + (17/3), отсюда х = (17/3)/(2/3) = 17/2 = 8,5.
Точки А и С лежат на одной окружности, значит АС - её хорда. Одновременно ВД - хорда другой окружности.
Из школьного курса известно, что диаметр, перпендикулярный к хорде, делит её пополам, обратным следствием чего является то, что срединный перпендикуляр, восстановленный к хорде, проходит через центр окружности.
Восстановив срединные перпендикуляры к хордам АС и ВД получим точку их пересечения. Это и будет центр двух окружностей или центр поворота.
Уравнение прямой АВ: (х+1)/(3+1) = у(-3)/(8-2),
АВ: 6х + 6 = 4у - 8.
Получаем уравнение прямой АВ с коэффициентом:
у = (6х + 14)/4 = (3/2)х + (7/2).
Находим координаты точки Д - середины отрезка АВ:
Д(-1+3)/2=1; (2+8)/2=5) = (1; 5).
Уравнение перпендикуляра ДС, проведенного из середины отрезка АВ, имеет коэффициент перед х, равный (-1/к), где к - это коэффициент прямой АВ.
ДС: у = (-2/3)х + в.
Для определения параметра в подставим известные координаты точки Д:
5 = (-2/3)*1 + в.
Отсюда в = 5 + (2/3) = 17/3.
Уравнение ДС: у = (-2/3)х + (17/3).
Абсцисса точки С определится при подстановке в уравнение прямой ДС у = 0.
0 = (-2/3)х + (17/3), отсюда х = (17/3)/(2/3) = 17/2 = 8,5.