Периметр равнобедренной трапеции PQRT равна 44,а средняя линия-16. из вершины R проведена прямая RS параллельно боковой стороне PQ(точка S лежит на основании PT). Найдите большее основание, если RS-биссектриса угла QRT

 Вариант решения.

  В прямоугольной трапеции АВСD радиус вписанной окружности 4, длина меньшего основания 7. Найдите площадь трапеции.

 Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности. АВ⊥АD ⇒ AB=h=2r=8.

 Проведем радиусы ОМ к ВС и ОК к CD. Радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной. АВМН - прямоугольник. ВМ=АН=4. МС=7-4=3.    

 Отрезки касательных, проведенные из точки вне окружности, равны. СК=СМ=3  и НD=KD=х. Опустим высоту СР=AB=8. Отрезок НР=МС=3, PD=х-3, СD=х+3.

  По т.Пифагора СD²-PD²=CP².   (х+3)²-(х-3)² =64, откуда 12х=64 и х=5 1/3. Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований. АD=AH+HD=4+5 1/3=9 ¹/₃. S(ABCD)=AB•(BC+AD):2=8•(7+9 ¹/₃):2. Ѕ(ABCD)=65 ¹/₃ ед. площади.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. 

Если один угол между диагоналями равен 120° , то второй, меньший, равен 60° как смежный с ним. 

Треугольник, образованный двумя половинками диагоналей и меньшей стороной прямоугольника - равносторонний, так как он  равнобедренный: две его стороны равны как половинки равных диагоналей, а угол при вершине равен 60° .

Следовательно, каждая половина диагонали равна 10 (меньшей стороное прямоугольника), а вся диагональ вдвое больше и равна 2*10=20.