Первая окружность радиуса 9 см касается трех сторон прямоугольника. Второя окружность касается первой внешним образом, а также касается сторон прямого угла. Найдите максимальный радиус второй окружности, если стороны прямоугольника равны 18 см и 20 см . ​

Пусть углы при осн.равны-х ,тогда тупой угол равен 4х ,медиана в равноб.треуг так же явл высотой и биссектрисой ,получается ,что треуг (который получается при делении большего высотой ,т.есть любой из них, они оба равны ) прямоуг. высота перпен.осн. значит  один из углов равен 90град. следовательно на остальные 2 так же приходится 90 град .значит х+2х =90 ,тогда х=30 гдад. теперь по свойству .катеп (т.есть (медиана =а) лежащий против угла в 30 град равен половине гипотинузы (боковой стороны треуг ) значит боковая сторона=2а

MO=ON(Т.К. РАДИУСЫ)

Доказываем равенство треугольников по свойству касательных из одной точки,

Тогда угол KON=MOK и они по 60 градусов. 120/2=60 градусов.

Есть два прямоугольных треугольника. Радиусы ON и OM находятся по свойство угла в 30 градусов, т.е.

2ON=OK

2ON=12 /2(ДЕЛИЛИ ОБЕ ЧАСТИ)

ON=6 

Затем находим всё по теореме Пифагора.

KN+ON=OK(все величины в квадрате)

KN2+36=144

KN2=144-36=108 градусов.

корень из KN=корень из 108 радусов и это 6 корней из 3.

KN=KM(по свойству отрезков касательных)

ответ:KN=KM=6 корней из 3.