Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, которая делит высоту пирамиды в отношении 3: 8, считая от вершины. вычисли площадь основания, если площадь сечения равна 27дм2.

Показать ответ

Ответ:

Pro2222

21.08.2020 12:17

Для наглядности привожу рисунок треугольной пирамиды, хотя она может быть какой угодно.

Пирамида SABC; высота SO⊥(ABC);  (KMN)║(ABC); SF:FO = 3:8
$S_{KMN}=27$ дм²
$\frac{SF}{FO} = \frac{3}{8}$    $FO= \frac{8}{3} SF$
SO = SF + FO = SF + $\frac{8}{3} SF = \frac{11}{3} SF$

ΔSFM прямоугольный ∠SFM = 90°
ΔSOB прямоугольный  ∠SOB = 90°
ΔSFM ~ ΔSOB по общему острому ∠FSM  ⇒
$\frac{SB}{SM} = \frac{SO}{SF} = \frac{ \frac{11}{3} SF}{SF} = \frac{11}{3}$

NM║CB  ⇒ ∠SNM = ∠SCB; ∠SMN = ∠SBC как соответственные углы ⇒
ΔSCB ~ ΔSNM по двум равным углам ⇒
$\frac{CB}{NM} = \frac{SB}{SM} = \frac{11}{3}$ ⇒
Т.к. фигура в сечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию, подобна основанию, то ΔABC ~ ΔKMN с коэффициентом подобия
k = $\frac{11}{3}$
Площади подобных фигур относятся как коэффициент подобия в квадрате
$\frac{S_{ABC}}{S_{KMN}} =k^2=( \frac{11}{3} )^2= \frac{121}{9} \\ \\ S_{ABC}= \frac{121}{9} S_{KMN}= \frac{121}{9} *27=363$

ответ: площадь основания 363 дм³
Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, которая делит высоту пирамиды в отношении 3: