Тт. и лежат в одной плоскости и, будучи соединены последовательно, образуют равнобокую трапецию ( — средняя линия поэтому ).
Поэтому угол, о котором идет речь в условии задачи — это угол между диагоналями трапеции.
Далее возможны два варианта: либо тогда (см. рис. 2).
Решим задачу в общем виде (рис. 3). Пускай Продлим нижнее основание за точку на длину верхнего основания: Тогда образовавшийся четырехугольник — параллелограмм, Значит а
По теореме синусов
используя формулу приведения и формулу синуса двойного угла найдем длину диагонали:
Треугольники и подобны, значит и отсюда
По теореме косинусов для треугольника
откуда
Тогда если
Если же тогда
Теперь возвращаясь к призме, можем вычислить ее высоту. В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора:
если
если
(при таком значении угла не складывается пространственная фигура — ее высота равна 0, следовательно, случай — посторонний).
Площадь основания призмы вычислим по формуле площади равностороннего треугольника
Площадь боковой поверхности цилиндра:
Sбок = 2πR · h,
где R - радиус основания цилиндра, h - его высота.
40π = 2πR · 5
R = 4 см.
Пусть С - центр нижнего основания, В - центр верхнего.
СК = СD = R = 4 см
ΔCKD - прямоугольный, равнобедренный, значит
KD = CK√2 = 4√2 см.
Пусть Н - середина отрезка KD, тогда СН - медиана и высота ΔCKD, а медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине:
СН = KD/2 = 2√2 см
Из прямоугольного треугольника ВСН по теореме Пифагора:
ВН = √(ВС² + СН²) = √(25 + 8) = √33 см
Объем призмы равен![3\sqrt{2}](/tpl/images/4978/6081/fc1a9.png)
Объяснение:
(Рис. 1)
Тт.![{A_1},](/tpl/images/4978/6081/e5a9a.png)
![M,](/tpl/images/4978/6081/8db6b.png)
и
лежат в одной плоскости и, будучи соединены последовательно, образуют равнобокую трапецию (
— средняя линия
поэтому ![MN\parallel AB\parallel {A_1}{B_1},](/tpl/images/4978/6081/4cd12.png)
![MN = \displaystyle\frac{{AB}}{2} = 1,](/tpl/images/4978/6081/2709e.png)
).
Поэтому угол, о котором идет речь в условии задачи — это угол между диагоналями трапеции.
Далее возможны два варианта:
либо
тогда
(см. рис. 2).
Решим задачу в общем виде (рис. 3). Пускай![\angle MON = \alpha ,](/tpl/images/4978/6081/b4b35.png)
Продлим нижнее основание
за точку
на длину верхнего основания:
Тогда образовавшийся четырехугольник
— параллелограмм, ![N{A_1}\parallel MK,](/tpl/images/4978/6081/38e45.png)
Значит
а
По теореме синусов
используя формулу приведения и формулу синуса двойного угла найдем длину диагонали:
Треугольники
и
подобны,
значит и
отсюда
По теореме косинусов для треугольника![OM{A_1}](/tpl/images/4978/6081/451ab.png)
откуда
Тогда если![\alpha = 60^\circ ,](/tpl/images/4978/6081/60333.png)
Если же
тогда
Теперь возвращаясь к призме, можем вычислить ее высоту. В прямоугольном треугольнике
по теореме Пифагора:
если![\alpha = 60^\circ ,](/tpl/images/4978/6081/60333.png)
если![\alpha = 120^\circ ,](/tpl/images/4978/6081/610a8.png)
(при таком значении угла не складывается пространственная фигура — ее высота равна 0, следовательно, случай
— посторонний).
Площадь основания призмы вычислим по формуле площади равностороннего треугольника
Окончательно, объем призмы: