. Площа прямокутника дорівнює 54 см. Знайдіть його
сторони, якщо вони відносяться як 2:3.​

1) Пусть дан пареллелограм ABCD, т.K,L,M,N - средины сторон AB,BC,CD,AD соответственно. BC||KM||AD и AB||LM||CD. KBLO- параллелограм  и ΔKBL=ΔKLO, аналогично можно доказать равенство и остальных треугольников, а это значит что площадь KLMN равна половине площади ABCD, то есть площадь KLMN=20/2=10

2) Дано трапеция ABCD,AB||CD, т. O- точка пересечения диагоналей

    ΔAOB подобный ΔDOC,как имеющие равные углы AOB и DOC и лежащих  между параллельными прямимы.

В подобных треугольниках площади относятся как квадраты коэффициентов подобия, то есть AOB:COD=1:9

Задачка симпатичная, хотя и простая.

Введем обозначения для краткости записи формул.

АО = m; OC = n; MO = x; OН = y; высоту треугольника АМО, проведенную из вершины А к стороне МО, назовем h1, высоту треугольника ОСН к стороне ОН - h2, высоту трепеции - h;

Тогда из параллельности MH к основаниям следуют соотношения

x/b = m/(m+n);

h1/h = m/(m+n);

x*h1 = b*h*m^2/(m+n)^2;

y/a = n/(m+n);

h2/h = n/(n+m);

y*h2 = a*h*n^2/(m+n)^2;

По условию x*h1 = y*h2; подставляем, получаем

a*n^2 = b*m^2 (с таким же соотношением длин я вчера сталкивался в совершенно другой задаче :)))

n/m = корень(b/a);

x = b/(1+n/m) = b*корень(a)/(корень(a)+корень(b));

y = a*(n/m)/(1+n/m) = a*корень(b)/(корень(a)+корень(b));

складываем, выносим корень(a*b) за скобки, остальное сокращается.

ответ МН = корень(a*b);