Площадь основания правильной треугольной призмы равна 12√‎3 см2. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее высота больше стороны основания в 2 раза.

△АВС.

AD - высота.

BD = 15 см

CD = 5 см

∠В = 30°

АС - ?

Высота AD делит △АВС на два прямоугольных треугольника ABD и ACD.

Рассмотрим △ABD:

∠B = 30˚, по условию.

"Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы".

=> AD = 1/2AB

Составим уравнение:

Пусть х - AD, 2х - АВ, 15 - BD.

Теорема Пифагора:

с² = а² + b², где с - гипотенуза; a, b - катеты.

(2х)² = 15² + х²

4х² = 225 + х²

4х² - х² = 225

3х² = 225

х² = 75

х1 = 5√3

x2 = -5√3

Но так как единицы измерения не могут быть отрицательными => х = 5√3

Итак, AD = 5√3 см.

Найдём АС, по теореме Пифагора: (с = √(a² + b²), где с - гипотенуза; a, b - катеты)

√((5√3)² + 5²) = √100 = 10 см

Итак, АС = 10 см

По условию дана равнобедренная трапеция, пусть а, b - основания трапеции, где большее основание а = 39 cм; с, d - её боковые стороны. По условию с = d = 25 см, диагональ трапеции D = 40 cм.

Диагональ делит трапецию на два треугольника. Рассмотрим один из них, стороны которого образованы нижним основанием трапеции, боковой стороной и диагональю, и равны 39 см, 25 см, 40 см соответственно.

Найдем площадь данного треугольника по формуле Герона:

S = √р (р - а) (р - b) (p - c), где р - полупериметр, а,b,с - стороны треугольника

р = 1/2 (39 + 40 +25) =  1/2 · 104 = 52 см

S = √52 (52 - 39) (52 - 40) (52 - 25) = √52·13·12·27 = √219024 = 468 см²

Найдем длину высоты трапеции через сторону и площадь:

S = 1/2аh; h = 2S/а = 2 · 468/39 = 24 см

ответ: 24 см