Площини alpha i beta паралельні між собою. Із точки M, що не належить цим площинам і не знаходиться між ними, проведено два промені. Один із них перетинає площини аlpha i beta точках А¹ i B¹, а другий у точках A² і В². Знайдіть довжину відрізка А¹A², якщо MB² : МА² = 3:1, В¹В² = 12 см. А) 3 см;
Б) 4 см;
В) 12 см;
Г) 36 см.​

Возьмем треугольник abc, c-прямой угол
 Проведем биссектрису-ck, катеты ac/bc относятся друг к другу также как и поделенная гипотенуза 5:3, тогда и они относятся как 5/3
Высоту назовем AM
Тогда можно найти отрезки на которые поделит высота, проведенная из вершины прямого угла
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой
Тогда-AC=Корень из(AB*AM)
5=Корень из(8*AM)
Возведем обе стороны в квадрат
5^2=8*AM
25/8=AM

Теперь найдем BM
BC=корень из(AB*BM)
3=корень из(8*BM)
Возведем обе стороны в квадрат
3^2=8*BM
9=8*BM
BM=9/8

Отношение будет (25/8)/(9/8)
Сократим 25/8*8/9=200/72=100/36=25/9
ответ=25/9

Пусть SABC - правильная треугольная пирамида с вершиной S. В оновании данной пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник ABC. Высота пирамиды SO опущена в центр основания - центр треугольника ABC, который также является центром описанной окружности с радиусом R. 
Расстояние от любой вершины треугольника  ABC до центра O равно R= a√3/3, где а - сторона треугольника.⇒ AO=a√3/3
Высота треугольника h (ABC) = a√3/2, где а - сторона треугольника.
h (ABC) составляет 3/4 высоты пирамиды (SO)
h(АBC) = 3/4 * SO
SO = 4/3 * h (ABC) = 4/3 * a√3/2 = 2*a√3/3
Рассмотрим прямоугольный треугольник AOS. Угол AOS=90 град, тк SO - высота. Ребро пирамиды AS - гипотенуза, SO и AO - катеты. 
Тангенс искомого угла SAO равен отношению противолежащего катета SO к прилежащему катету AO

                      2*a√3/3
tg(SAO) = = 2
                         a√3/3 

что приблизительно соответствует углу 63°30' (по таблице Брадиса)⇒ такой прямоугольный треугольник существует