Плоскости квадрата ABCD и равнобедренного тре угольника DCM (угол C=90°) взаимноперпендикулярны. Найдите площадь треугольника ADM, если площадь квадрата ABCD равна 144 см^2 .

Катет, лежащий против угла 60°, равен 30 см

Объяснение:

Дано:

Треугольник АВС:

∠А = 90°;   ∠В = 60°;

ВК - биссектриса угла В

ВК = 20 cм

Найти:

АС - катет, лежащий против угла В

∠С = 90° - ∠В = 90° - 60° = 30°

∠АВК = 30°, так как биссектриса ВК делит ∠В пополам.

В ΔАВК известна гипотенуза ВК = 20 см и ∠АВК = 30°. Катет АК, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то есть

АК = 10 cм.

Катет АВ = ВК · cos 30° = 20 · 0,5 √3 = 10√3 cм.

В треугольнике АВС известен катет АВ = 10√3 см и ∠В = 60°.

Катет АС = АВ · tg B = 10√3 · √3 = 30 (см)

∠АМС = 30°

Объяснение:

Дано:

Треугольник АВС:    ВС = АВ

ВМ = АС

∠АВС = 20°

Найти:

∠АМС

Cмотри прикреплённый рисунок

Сделаем дополнительные построения:

1) Cтроим параллелограмм АВТС. По свойству параллелограмма диагональ ВС делит его на два равных треугольника: ΔТСВ = ΔАВС

2) Приняв ВС за ось симметрии, построим ΔСВК  симметричный ΔСВТ.

ΔСВТ = ΔСВК  по построению.

При этом ∠СВК = 0,5 · (180° - 20°) =80°, ∠АВС = 20°, тогда

∠КВМ = 80° - 20° = 60°.

По условию ВМ = АС, а АС = ВТ и ВТ = ВК по построению. Тогда ВМ = ВК и ΔМВК равнобедренный. Поскольку угол при вершине В треугольника МВК равен 60°, то  два угла при основании ВК  равны по 60°, и ΔМВК - равносторонний.

Проекции НВ и НК сторон МВ и МК  в Δ МВК являются и проекциями сторон СВ и СК равнобедренного ΔСВК. то точки Н, М и С лежат на  общем перпендикуляре СН, являющимся высотой, медианой и биссектрисой обоих равнобедренных треугольников: ΔМВК и ΔСВК.

Поскольку МН - биссектриса угла КМВ. то ∠ВМН = ∠КМН = 30°.

∠АМС и ∠ВМН - вертикальные углы. поэтому  ∠АМС = 30°