ПО ФАСТУ Дан правильный многоугольник и длина радиуса R окружности, описанной около многоугольника. Определи площадь многоугольника, если:

- у многоугольника 12 сторон и R= 4 см

(если корня в ответе нет, под знаком корня пиши 1).

S= *⋅√* см2

- у многоугольника 20 сторон и R= 4 см

(ответ округли до целых).

S= *см2.

Трапеция АВСД, МН - средня линия трапеции =15, ЛО - линия соединяющая середині оснований ВС и АД, уголА=23, угол Д=67, точка Р - пересечение МН и ЛО, продлеваем АВ и СД до пресечения в точке К, получаем треугольник АКД, где угол К=180-23-67=90, треугольники АКД и МНК - прямоугольные, МН делится ЛО на 2 равные части МР=РН=15/2=7,5, в треугольнике МНК КР - медиана и = 1/2 гипотенузы МН =15/2=7,5, отрезок ЛО делится МН на 2 равные части ЛР=РО=8/2=4, КЛ =КР-ЛР=7,5-4=3,5, КО=ЛО+КЛ=8+3,5=11,5, в треугольнике АКД КО-медиана=1/2АД, АД =КО*2=11,5*2=23
МН=(АД+ВС)/2, 15=(23+ВС)/2, ВС=30-23=7

Сектор - часть круга. Длина дуги сектора вычисляется по формуле:
L=π*r*n/180°.
В нашем случае n=120°, L=π*r(2/3).
Заметим, что в этой формуле r = l - образующая конуса, а  L - это длина
окружности нашего конуса. Радиус окружности основания конуса находим по формуле: L=2π*R или в нашем случае
π*r*(2/3)=2π*R, отсюда R=π*r*2/(3*2π)=r/3.
Теперь рассмотрим осевое сечение конуса.
Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами - образующей конуса и основанием - диаметром окружности основания конуса.
Причем высота конуса SH - это и биссектриса и медиана этого треугольника.
В прямоугольном треугольнике SHC синус угла HSC равен отношению
противолежащего катета (R) к гипотенузе (l=r) или Sin(<HSC)=(r/3)/r=1/3.
Заметим, что <HSC - это половина искомого угла при вершине конуса (так как SH - биссектриса).
По формуле Sinα=2Sin(α/2)*Cos(α/2)  найдем искомый угол α.
Cosα=√(1-sin²α)=√(1-1/9)=√8/3.
Sinα=2*(1/3)*(√8/3)=2√8/9.
ответ: угол при вершине конуса равен arcsin(4√2/9).
α≈39°

Угол при вершине осевого сечения конуса можно найти по теореме косинусов:
Cosα=(a²+b²-c²)2ab, где α - угол между сторонами a и b треугольника.
Тогда
Cosα=(2r²-(4/9)r²)/2r² = 14/18=7/9≈0,777.
α=arccos0,777 или α≈39°.