по геометрии контрольная работа

Пусть А - начало координат.

Ось X - AB

Ось Y - AD

Ось Z - перпендикулярно ABCD в сторону S

Высота пирамиды ( из треугольника ACS )

√(5^2-25/2) = 5/√2

Координаты точек

P( 1;1;√2)

Q(2;0;0)

R(5;3;0)

S(2,5;2,5;5/√2)

D(0;5;0)

Вектор

SD (-2,5;2,5;-5/√2)

Уравнение плоскости PQR

ax+by+cz+d=0

подставляем координаты точек P Q R

a+b+√2c+d=0

2a+d=0

5a+3b+d=0

Пусть d= 2  Тогда a= -1 b= 1 c=-√2

Уравнение плоскости

-x+y-√2z+2=0

или

-2,5x +2,5y-5z/√2+5=0

нормальное уравнение плоскости

k= √(1+1+2)=2

-x/2+y/2-z/√2+1=0

a) Нормаль к плоскости PQR

-2,5x +2,5y-5z/√2+5=0

cовпадает с вектором

SD  (-2,5;2,5;-5/√2)

Перпендикулярны

б) Подставляем координаты точки D(0;5;0) в нормальное уравнение плоскости PQR

-x/2+y/2-z/√2+1=0

для нахождения расстояния

5/2+1 = 3,5

Сумма углов треугольника 180°. =>

В ∆ АВС угол С=180°-(80°+60°)=40°

Сравним  стороны данных треугольников, начиная с меньшей. 

АВ=4, МК=8 

АС=6, МN=12

BC=7, KN=14

Отношение длин  сторон  этих треугольников 1:2. 

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Против  сходственных сторон лежат равные углы. 

Угол М заключён между МK и МN, т.е. между сторонами, пропорциональными АВ и АС меньшего треугольника и лежит против КN. => 

угол М=углу А=80°

Угол К лежит против МN и заключен между КМ и КN, эти стороны пропорциональны ВА и ВС соответственно. 

Угол К=углу В=60° 

Угол N=углу С=40°