По третьему признаку равенства треугольников : В равнобедренном треугольнике с основанием АС проведена медиана BM. Докажите что треугольник АВМ равен треугольнику МВС .
По условию ctgC=2ctgB; кроме того, 1/sinB = √(1 + (ctgB)^2); и также для C.
Пусть x = ctgB; a = h/r - 1; тогда
√(1 + 4x^2) + √(1 + x^2) = 3ax;
уравнение решается элементарно.
√(1 + 4x^2) = 3ax - √(1 + x^2);
1 + 4x^2 = 1 + x^2 -6ax√(1 + x^2) + (3ax)^2;
(3a^2 - 1)x = 2a√(1 + x^2); и дальше еще раз возвести в квадрат, и уравнение решится само собой.
Но на самом деле тут можно прерваться и вспомнить, что x = ctgB, откуда x/√(1 + x^2) = cosB = 2a/(3a^2 - 1); то есть фактически задача уже решена, надо только подставить числа и довести до формального ответа.
Если сосчитать все, то получился треугольник со сторонами 9, 5 и 2√13; высота к стороне 9 равна 4 (по условию) и делит её на отрезки 3 и 6; отрезок длины 3 вместе с высотой 4 и стороной 5 образуют "египетский" треугольник 3,4,5. (Видимо, эта задача так и составлялась - взяли минимальный Пифагоров треугольник, продлили катет 3 за вершину прямого угла на удвоенную длинну, и получили условие.)
Примем половину боковой стороны за х, вся сторона равна 2х.
Косинус угла В при основании равен (4√6/2)/2х = √6/х.
Косинус этого же угла определим по теореме косинусов из треугольника АВЕ: cos B = (4√6)² + x² - 21²)/(2*(4√6)*x.
Приравняем значения косинуса:
(4√6)² + x² - 21²)/(2*(4√6)*x = √6/х.
Приведём к общему знаменателю.
96 + x² - 441 = √6*8√6.
x² = 48 + 441 - 96 = 393.
Отсюда х = √393, а боковая сторона равна 2√393 см.
Найдём высоту СД (она же и медиана к основанию).
СД = √((2√393)² - (2√6)²) = √(1572 - 24) = √1548 = 6√43 ≈ 39,34463 см.
По свойству медиан ОД = (1/3)СД = 2√43 ≈ 13,11488.
ответ: ОД = 2√43 см.
Треугольник ABC, углы A B C, высота AE = h = 4; радиус вписанной окружности r = 18/(7 + √13) = (7 - √13)/2;
Ясно, что h/sinB + h/sinC + h(ctgB + ctgC) = 2p (периметр)
2S = 2pr = hr(1/sinB + 1/sinC + (ctgB + ctgC)) = h^2(ctgB + ctgC);
1/sinC + 1/sinB = (h/r-1)(ctgB + ctgC);
По условию ctgC=2ctgB; кроме того, 1/sinB = √(1 + (ctgB)^2); и также для C.
Пусть x = ctgB; a = h/r - 1; тогда
√(1 + 4x^2) + √(1 + x^2) = 3ax;
уравнение решается элементарно.
√(1 + 4x^2) = 3ax - √(1 + x^2);
1 + 4x^2 = 1 + x^2 -6ax√(1 + x^2) + (3ax)^2;
(3a^2 - 1)x = 2a√(1 + x^2); и дальше еще раз возвести в квадрат, и уравнение решится само собой.
Но на самом деле тут можно прерваться и вспомнить, что x = ctgB, откуда x/√(1 + x^2) = cosB = 2a/(3a^2 - 1); то есть фактически задача уже решена, надо только подставить числа и довести до формального ответа.
a = h/r - 1 = 4(7 +√13)/18 - 1 = (5 + 2√13)/9;
a^2 = (25 + 10√13 + 4*13)/81 = (77 + 20√13)/81;
3a^2 - 1 = (50 + 20√13)/27;
2a/(3a^2 - 1) = (2/9)*(5 +2√13)*27/(50 + 20√13) = 3/5;
Итак, cosB = 3/5; = > sinB = 4/5; => ctgB = 3/4.
Основание равно 3h*ctgB = 3*4*3/4 = 9;
Если сосчитать все, то получился треугольник со сторонами 9, 5 и 2√13; высота к стороне 9 равна 4 (по условию) и делит её на отрезки 3 и 6; отрезок длины 3 вместе с высотой 4 и стороной 5 образуют "египетский" треугольник 3,4,5. (Видимо, эта задача так и составлялась - взяли минимальный Пифагоров треугольник, продлили катет 3 за вершину прямого угла на удвоенную длинну, и получили условие.)
Легко проверить, что
площадь равна S = 9*4/2 = 18;
полупериметр p = (9 + 5 + 2√13)/2 = 7 + √13;
r = S/p = 18/(7 + √13);