Дана точка A(2; 0,25) и прямая, проходящая через эту точку и пересекающаяся с положительными полуосями в точках B и С.
Найти уравнение прямой, для которой отрезок ВС будет минимальным.
Эта задача имеет 2 решения:
- 1) миниминизация длины отрезка ВС с применением теоремы Пифагора для треугольника с катетами ОВ и ОС,
- 2) те же действия с использованием критического угла наклона отрезка к оси Оу при его минимальной длине.
1) Пусть ордината точки В равна "b", а абсцисса точки С равна "а".
Из подобия треугольников и координат точки А имеем:
b/0,25 = a/(a - 2), отсюда получаем соотношение для "b":
b = 0,25a/(a - 2).
Получаем функцию зависимости длины L отрезка ВС от одного из параметров:
L = √(a² + b²) = √(a² + (0,25a/(a - 2))²).
Для определения минимума функции нужно найти производную этой функции и приравнять нулю.
dL/da = (a(a³ - 6a² + 12a - 8,125))/((a - 2)³*√(0,0625/(a - 2)²) + 1)*a²)).
Приравниваем нулю числитель, решением кубического уравнения есть величина а = 2,5.
Тогда b = 0,25*2,5/(2,5 - 2) = 1,25.
Получаем минимальную длину ВС = √(1,25² + 2,5²) = √7,8125.
Поучаем: L = 2,795084972.
2) Для этого варианта есть готовая разработка решения.
Минимальная длина находится сразу по формуле:
L = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2).
Подставив в формулу a = 2 и b = 0,25, получаем результат:
2 2 0,25
1,107148718 0,894427191 0,447213595
63,43494882 2,236067977 0,559016994 = 2,795084972.
По полученным a и b находим уравнение прямой.
у = -(b/a)x + b = -(1,25/2,5) x+ 1,25 = -0,5x + 1,25.
Решение аналогичной задачи, в которой выведена данная формула приведено во вложении.
Даны координаты вершин треугольника: A(−12;−1); B(0;−10); C(4;12).
1) Находим длину стороны АВ.
АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √((0-(-12))²+(-10-(-1))²) = √(144 + 81) =
= √225 = 15.
2) Уравнения сторон AB и ВC и их угловые коэффициенты;
Находим векторы АВ и АС:
АВ: (12; -9), ВС:(4; 22).
Получаем уравнения:
АВ: (х + 12)/12 = (у + 1)/(-9),
ВС: х/4 = (у + 10)/22.
Угловые коэффициенты сторон
Кав = Ув-Уа = -9/12 = -3/4 = -0,75.
Хв-Ха
Квс = Ус-Ув = 22/4 = 11/2 = 5,5.
Хс-Хв
3) Угол В между прямыми AB и BC в радианах (градусах) с точностью до двух знаков после запятой. Находим по теореме косинусов.
Находим длины сторон.
АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √225 = 15.
BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √500 = 10√5 ≈ 22,36068.
Векторы ВА: (-12; 9), ВС:(4; 22).
cos В = (-12*4 + 9*22)/(15*10√5 = 150/(150√5) = √5/5.
В = arc cos(√5/5) ≈ 1,107148718 ≈ 1,11 радиан .
4) Уравнение высоты CD и ее длину.
Находим площадь треугольника по формуле:
S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)|.
Подставив координаты точек, получаем S = 150 кв.ед.
Длина СD = 2S/AB = 2*150/15 = 20.
k(CD) = -1/k(AB) = -1/(-3/4) = 4/3.
Уравнение: у = (4/3)х + в. Подставим координаты точки С.
12 = (4/3)*4 + в, отсюда в = 12 - (16/3) = 20/3.
Уравнение CD: y = (4/3)x + (20/3) .
5) Уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD .
Точка Е как середина ВС: ((0+4)/2=2; (-10+12)/2=1) = (2; 1).
Вектор АЕ: (14; 2)
Уравнение АЕ: (х + 12)/14 = (у + 1)/2.
Приведём к виду с угловым коэффициентом:
у = (1/7)х + (5/7).
Точка К как пересечение AE и CD.
Приравниваем: (1/7)х + (5/7) = (4/3)x + (20/3),
(-25/21)х = (125/21).
Отсюда х(К) = -5, у(К() = 0.
6) Уравнение прямой L, которая проходит через точку K параллельно стороне AB.
Угловой коэффициент Кав -3/4 сохраняется для прямой L.
Уравнение у = (-3/4)х + в.
Для определения значения в подставим координаты точки К.
0 = (-3/4)*(-5) + в, отсюда в = 0 - 15/4 = (-15/4).
Уравнение у = (-4/3)х - (15/4).
7) Координаты точки F(xF , yF ) , которая находится симметрично точке A относительно прямой CD (это перпендикуляр к АВ).
Находим координаты точки Д как точки пересечения высоты СД и стороны АВ. х(Д) = -8, у(Д) = -4.
Тогда x(F) = 2x(D) - x(A) = -16 -(-12) = -4.
y(F) = 2y(D) - y(A) = -8 -(-1) = -7.
Дана точка A(2; 0,25) и прямая, проходящая через эту точку и пересекающаяся с положительными полуосями в точках B и С.
Найти уравнение прямой, для которой отрезок ВС будет минимальным.
Эта задача имеет 2 решения:
- 1) миниминизация длины отрезка ВС с применением теоремы Пифагора для треугольника с катетами ОВ и ОС,
- 2) те же действия с использованием критического угла наклона отрезка к оси Оу при его минимальной длине.
1) Пусть ордината точки В равна "b", а абсцисса точки С равна "а".
Из подобия треугольников и координат точки А имеем:
b/0,25 = a/(a - 2), отсюда получаем соотношение для "b":
b = 0,25a/(a - 2).
Получаем функцию зависимости длины L отрезка ВС от одного из параметров:
L = √(a² + b²) = √(a² + (0,25a/(a - 2))²).
Для определения минимума функции нужно найти производную этой функции и приравнять нулю.
dL/da = (a(a³ - 6a² + 12a - 8,125))/((a - 2)³*√(0,0625/(a - 2)²) + 1)*a²)).
Приравниваем нулю числитель, решением кубического уравнения есть величина а = 2,5.
Тогда b = 0,25*2,5/(2,5 - 2) = 1,25.
Получаем минимальную длину ВС = √(1,25² + 2,5²) = √7,8125.
Поучаем: L = 2,795084972.
2) Для этого варианта есть готовая разработка решения.
Минимальная длина находится сразу по формуле:
L = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2).
Подставив в формулу a = 2 и b = 0,25, получаем результат:
2 2 0,25
1,107148718 0,894427191 0,447213595
63,43494882 2,236067977 0,559016994 = 2,795084972.
По полученным a и b находим уравнение прямой.
у = -(b/a)x + b = -(1,25/2,5) x+ 1,25 = -0,5x + 1,25.
Решение аналогичной задачи, в которой выведена данная формула приведено во вложении.
Даны координаты вершин треугольника: A(−12;−1); B(0;−10); C(4;12).
1) Находим длину стороны АВ.
АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √((0-(-12))²+(-10-(-1))²) = √(144 + 81) =
= √225 = 15.
2) Уравнения сторон AB и ВC и их угловые коэффициенты;
Находим векторы АВ и АС:
АВ: (12; -9), ВС:(4; 22).
Получаем уравнения:
АВ: (х + 12)/12 = (у + 1)/(-9),
ВС: х/4 = (у + 10)/22.
Угловые коэффициенты сторон
Кав = Ув-Уа = -9/12 = -3/4 = -0,75.
Хв-Ха
Квс = Ус-Ув = 22/4 = 11/2 = 5,5.
Хс-Хв
3) Угол В между прямыми AB и BC в радианах (градусах) с точностью до двух знаков после запятой. Находим по теореме косинусов.
Находим длины сторон.
АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √225 = 15.
BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √500 = 10√5 ≈ 22,36068.
Векторы ВА: (-12; 9), ВС:(4; 22).
cos В = (-12*4 + 9*22)/(15*10√5 = 150/(150√5) = √5/5.
В = arc cos(√5/5) ≈ 1,107148718 ≈ 1,11 радиан .
4) Уравнение высоты CD и ее длину.
Находим площадь треугольника по формуле:
S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)|.
Подставив координаты точек, получаем S = 150 кв.ед.
Длина СD = 2S/AB = 2*150/15 = 20.
k(CD) = -1/k(AB) = -1/(-3/4) = 4/3.
Уравнение: у = (4/3)х + в. Подставим координаты точки С.
12 = (4/3)*4 + в, отсюда в = 12 - (16/3) = 20/3.
Уравнение CD: y = (4/3)x + (20/3) .
5) Уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD .
Точка Е как середина ВС: ((0+4)/2=2; (-10+12)/2=1) = (2; 1).
Вектор АЕ: (14; 2)
Уравнение АЕ: (х + 12)/14 = (у + 1)/2.
Приведём к виду с угловым коэффициентом:
у = (1/7)х + (5/7).
Точка К как пересечение AE и CD.
Приравниваем: (1/7)х + (5/7) = (4/3)x + (20/3),
(-25/21)х = (125/21).
Отсюда х(К) = -5, у(К() = 0.
6) Уравнение прямой L, которая проходит через точку K параллельно стороне AB.
Угловой коэффициент Кав -3/4 сохраняется для прямой L.
Уравнение у = (-3/4)х + в.
Для определения значения в подставим координаты точки К.
0 = (-3/4)*(-5) + в, отсюда в = 0 - 15/4 = (-15/4).
Уравнение у = (-4/3)х - (15/4).
7) Координаты точки F(xF , yF ) , которая находится симметрично точке A относительно прямой CD (это перпендикуляр к АВ).
Находим координаты точки Д как точки пересечения высоты СД и стороны АВ. х(Д) = -8, у(Д) = -4.
Тогда x(F) = 2x(D) - x(A) = -16 -(-12) = -4.
y(F) = 2y(D) - y(A) = -8 -(-1) = -7.