Понятие прямоугольника всем знакомо с начальной школы. Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые. Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма: - противоположные стороны равны и параллельны;
- противоположные углы равны, углы, прилежащие к одной стороне составляют в сумме 180°;
- особо можно выделить, что все углы равны;
- диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
У прямоугольника есть особое свойство: диагонали прямоугольника равны.
Элементы Свойства от параллелограмма Особое свойство
Стороны Противоположные стороны равны и параллельны
Углы Противоположные углы равны, углы, прилежащие к одной стороне составляют в сумме 180° Все углы равны
Диагонали Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Диагонали равны
Для доказательства рассмотрим прямоугольник ABCD с диагоналями AC и BD.
Прямоугольные треугольники ABD и DCA равны по двум катетам, т.к. AD – общий катет, AB = CD. Следовательно, AC = BD.
Для того, чтобы определить, является ли данный параллелограмм прямоугольником нужен признак прямоугольника. Он вытекает из особого свойства прямоугольника: если в паралеллограмме диагонали равны, то этот паралеллограмм – прямоугольник.
Рассмотрим параллелограмм ABCD с равными диагоналями AC и BD.
ABD и DCA равны по трем сторонам: AC = BD (по условию), AB = CD (свойство параллелограмма). AD – общая сторона. Следовательно, ∠BAD = ∠CDA, но ∠BAD + ∠CDA = 180° и ∠BAD = ∠BCD, ∠CDA = ∠CDA, поэтому ∠BAD = ∠BCD = ∠CDA = ∠CDA = 90° значит, ABCD – прямоугольник.
Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом, он обладает всеми его свойствами, а из определения ромба следует, что все стороны равны.
Ромб обладает и особым свойством: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Элементы Свойства от параллелограмма Особое свойство
Стороны Противоположные стороны равны и параллельны Все стороны равны
Углы Противоположные углы равны, углы, прилежащие к одной стороне составляют в сумме 180°
Диагонали Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам
Для доказательства особого свойства рассмотрим ромб ABCD с диагоналями AC и BD.
AB = AD (ромб). Треугольник ABD – равнобедренный, AO – медиана, а значит высота и биссектриса этого треугольника. Следовательно, AC ⊥ BD, AC – биссектриса ∠BAD.
Признаки ромба получаются из особого свойства ромба:
- если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то он является ромбом
- если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то он является ромбом.
Еще один знакомый с начальной школы четырёхугольник – это квадрат. Квадрат – это прямоугольник с равными сторонами или ромб с прямыми углами.
тут 2 задачи по геометрии за 8 класс разобрать их и решить их
36:3=12.
Опустим высоту в треугольнике до пересечения с окружностью. Соединим полученную точку с одной из оставших вершин заданного треугольника. Получим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого является диаметром окружности. Угол между высотой треугольника и его стороной равен 30°. Высота в правильном треугольнике является и биссектрисой и медианой. 60°:2=30°.
Вычислим диаметр окружности:
d=12:cos30°=12:(√3/2)=24/√3=24·√3/√3·√3=24√3/3=8√3.
Диагональю квадрата является диаметр окружности. Обозачим сторону квадрата через а.
По теореме Пифагора: a²+a²=d², 2a²=(8√3)².
2a²=64·3,
a²=32·3=16·2·3,
a=√16·6=4√6.
a=4√6.
решение: правильный треугольник вписан в окружность, значит центр окружности лежит в центре треугольника. проведем три радиуса в вершины треугольника, получим 3 равнобедренных треугольника с большей стороной равной 30/3=10 см. в одном треугольнике проведем высоту. высота в равнобедренном треугольнике является и мереданной и бессектрисой и делит большую сторону пополам 10/2=5. далее находим радиус окружности это косинус(30)=5/Х. отсюда Х =10/корень3. далее проводим радиусы в квадратк к вершинам. и находим сторону квадрата косинус45=радиус/Х отсюда Х равен 10×корень6/3. перимитр равен 4×Х и равен 40корень6/3