При паралельному перенесенні точка М(-3;-1) переходить в точку N(5;-7). Знайдіть координати точки К, в яку переходить точка О – середина відрізка MN при цьому паралельному переносі.

1. 1. Рассмотрим ΔМСТ.

Так как В-середина МТ, ВС является медианой ΔМСТ.

2. Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника, т.е., с одинаковой площадью.

SΔBCT = SΔMBC

3. Так как МС равна 2/3 АС, SΔМВС = 2/3 SΔАВС.

Значит, SΔBCN = 2/3 SΔABC = 2/3S.

ответ. 2/3 S.

2.  1. Обозначим боковые стороны а и b, основание - с, высоту, опущенную на основание, - h₁. А высоту, опущенную на боковую сторону, которую нужно найти, обозначим h₂.

Находим боковую сторону по теореме Пифагора.

(см).

2. S=½ ah

ch₁ = ah₂

(см)

ответ. 9,6 см.

3.  Наименьшая сторона будет лежать напротив наименьшего угла.

Используем теорему синусов.

5·2 = 10 (cм)

ответ. 10 см. 

1. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен

    2r = a+b-c

a+b-c = 8

a+b = c+8 

Периметр треугольника равен

a+b+c = P

a+b+c = 90

a+b = 90-c 

Так как левые части выделенных равенств равны, приравниваем правые части и находим гипотенузу с.

с+8=90-с

с+с=90-8

2с=82

с=41

2. Составим систему уравнений, где а и b - катеты.

Первое уравнение составим из первого выделенного равенства, подставив вместо с число 41: a+b=41+8;    a+b=49 

Второе уравнение составим, используя теорему Пифагора:

а²+b² = 41²

a²+b² = 1681 

Получили систему уравнений:

⇔ 

a²+(49-a)²=1681

a²+2401-98a+a²-1681=0

2a²-98a+720=0  /2

a²-49a+360=0

D=2401-1440=961

a₁ = (49-31)/2 = 9            b₁ = 49-9 = 40

a₂ = (49+31)/2 = 40          b₂ = 49-40 = 9

ответ. Катеты равны 9 см и 40 см.