Признок параллейной прямой и плоскости
дано:AA1 параллельно BB1 и CC1 докажите что ( ABC) и (A,B,C)​

1) Пусть угол при вершине меньше суммы углов при основании.
Тогда пусть х° - угол при основании. Используя теорему о сумме углов треугольника получаем:
х + х + (х + х - 40) = 180
4х = 220
х = 55°.
Значит, угол при основании равен 55°.
Тогда угол при вершине равен 2•55° - 40° = 70°.
ответ: 55°; 55°; 70°.

2) Пусть угол при основании меньше суммы другого угла при основании и угла при вершине на 40°. Обозначив за А - угол при основании, за B - угол при вершине, получим:
А + 40 = А + В, значит, угол В = 40°.
Тогда угол А = (180° - 40°)/2 = 70°.
ответ: 70°; 70°; 40°.

Три РАВНЫХ по площади круга могут касаться друг друга только внешним образом. Окружность, которая ВНУТРЕННИМ образом касается трех указанных - это окружность, являющаяся ВНЕШНЕЙ для трех остальных.
Рассмотрим треугольник АВС. Это равносторонний треугольник со стороной, равной 2r.  Высота этого треугольника h равна r√3.
Тогда отрезок ОА=(2/3)*r√3, а радиус искомой окружности равен ОА+r или
R=(2/3)*r(√3+1)= r(2√3+3)/3.
Так как r=√(S/π), то R=r((2/3)*(√3+1)) или R=√(S/π)*((2√3+3)/3).
R²=(S/π)*((2√3+3)/3)² или R²=(S/π)*(12+12√3+9)/9=(S/π)*((7+4√3)/3).
Площадь искомого круга будет Sи=πR².
Тогда Sи=S*(7+4√3)/3.