а) Проведем АО (О - центр окр.).Пересечение АО и MN - точка К. MK = KN = 2,5. Пусть ON = OM = R. Тогда:
Из пр.тр-ка AON:
AO^2 - R^2 = 36 (AN = AM = 6).
AO*2,5 = 6R (гипотенуза умн. на высоту равна произведению катетов).
AO = 6R/2,5 = 2,4R
5,76R^2 - R^2 = 36
R = 6/кор4,76 = 2,75 (с точностью до 5-го знака после запятой)
ответ: 6/кор4,76 = 30/кор119 = 2,75 (специально даю разные вариации одного и того же ответа - первые два - точные, но громоздкие, последний - приближенный, но очень с высокой степенью точности).
б)Продлим АО до пересечения с другой точкой окр. w - точка В.
Итак необходимо найти длину дуги MNB. Сначала найдем угловую меру.
а) Проведем АО (О - центр окр.).Пересечение АО и MN - точка К. MK = KN = 2,5. Пусть ON = OM = R. Тогда:
Из пр.тр-ка AON:
AO^2 - R^2 = 36 (AN = AM = 6).
AO*2,5 = 6R (гипотенуза умн. на высоту равна произведению катетов).
AO = 6R/2,5 = 2,4R
5,76R^2 - R^2 = 36
R = 6/кор4,76 = 2,75 (с точностью до 5-го знака после запятой)
ответ: 6/кор4,76 = 30/кор119 = 2,75 (специально даю разные вариации одного и того же ответа - первые два - точные, но громоздкие, последний - приближенный, но очень с высокой степенью точности).
б)Продлим АО до пересечения с другой точкой окр. w - точка В.
Итак необходимо найти длину дуги MNB. Сначала найдем угловую меру.
MBN = 2П - MON = 2П - х. х = ?
Из тр-ка MON:
sin(x/2) = 2,5/R = 2,5/2,75 = 10/11 = 0,91
x = 2arcsin(0,91)
MBN = 2П - 2arcsin(0,91) радиан
Длина дуги:
{[2П - 2arcsin(0,91)]/2П} * 2ПR = 2ПR - 2Rarcsin0,91 = 2R(П - arcsin(0,91)) =
=5,5*(П - 1,14) = 11
ответ: 5,5(П - arcsin(0,91)) = 11.
1. Правильно сделать рисунок. К сожалению не проходят вложения.
Из центров окружностей - первых двух и четвертой - образуется равнобедренный тр-ик О1О2О3 с основанием О1О2= 12 и боковой стороной:
О1О3=О2О3 = 6+х, где х - искомый радиус 4-ой окр-ти.
Высота этого тр-ка О3А = 12-х и с другой стороны по теореме Пифагора:
О3А^2 = (x+6)^2 - 36
Итак получим уравнение:
(12-x)^2 = (x+6)^2 - 36
36x = 144 x = 4
ответ: 4 см.
2. АС = 6, АВ = ВС = 5. АN,BD,CM - высоты
AО= CО = AD/cosa, где а = угол МСА = уголNAC = угол ABD
cosa = BD/АВ = (кор(25-9))/5 = 4/5
Тогда: АО = СО = 3/(4/5) = 15/4
OD = AD*tga = 3*3/4 = 9/4
BO = BD - OD = 4 - (9/4) = 7/4
ответ: 15/4; 15/4; 7/4.
3.Центр впис. окр. - на пересечении биссектрис углов тр-ка АВС.
r - радиус вписаной окр-ти.
Из чертежа (надо правильно его выполнить, проведя радиусы в точки касания): отрезки до точек касания равны r/tg(A/2), r/tg(B/2), r/(tg(c/2).
Тангенс половинного угла считается по формуле tg(a/2) = sina/(1+cosa).
Итак в нашей задаче надо найти r и тригоном. ф-ии углов тр-ка.
r=? S = pr и S = кор(p(p-a)(p-b)(p-c)), p = (6+9+12)/2 = 27/2
S = (27кор15)/4 r = S/p =(кор15)/2
Функции углов:cosB = (81+36-144)/(2*9*6) = - (1/4), sinB = (кор15)/4
По теореме синусов: 9/sinC = 12/sinB, sinC = (3кор15)/16, cosC = 11/16.
Аналогично: sinA = (кор15)/8, cosA = 7/8.
Считаем тангенсы:
tg(A/2) = (кор15)/15; tg(B/2) = (кор15)/3; tg(C/2) = (кор15)/9.
Искомые отрезки равны: 15/2, 9/2, 3/2.
Попарно по сторонам:
ответ:15/2 и 9/2; 9/2 и 3/2; 15/2 и 3/2.