Если два голубя вылетели и прилетели одновременно, с одинаковой скоростью, то расстояние от верха дома и от вершины столба до тачки встречи одинаковое.
Получается два прямоугольных треугольника с одинаковыми гипотенузами. Обозначаем расстояние от основания дома до места встречи - х, расстояние от основания фонаря до места встречи - у. Составляем систему уравнений.
АВС - правильный треугольник со стороной а. АО - радиус описанной окружности. R=АО=а√3/3. ∠АОВ=∠ВОС=АОС=360/3=120°. Так как точка М - середина дуги АВ, то ∠АОМ=∠АОВ/2=60°. Соответственно ∠АОN=60°, а ∠MON=120°. Большая дуга MN равна 360-∠MON=360-120=240°. Вписанный угол MAN опирается на дугу MN и равен её половине. ∠MAN=∩MN/2=240/2=120°. Треугольники AMN и OMN равны, т.к. оба равнобедренные, у них общее основание и углы при вершинах равны, значит углы при основании тоже равны. Соответственно ΔOMN=ΔOBC, значит MN=BC=a. В четырёхугольнике AMON стороны равны, значит он ромб, значит АР=РО. АР=R/2=а√3/6. В правильном треугольнике АЕН АР - высота. Для правильного тр-ка h=a√3/2 (здесь а другая, только для формулы) ⇒ а=2h/√3. ЕН=2·АР/√3=2·а√3/(6√3)=а/3 (здесь а - сторона тр-ка АВС. а=АВ). MN=a, ЕН =а/3. Исходя из симметрии построенного чертежа, ΔAMP=ΔANP, значит МЕ=NН. МЕ=NН=(MN-ЕН)/2=(а-а/3)/2=а/3. МЕ=ЕН=NН=а/3. Доказано.
Объяснение:
Если два голубя вылетели и прилетели одновременно, с одинаковой скоростью, то расстояние от верха дома и от вершины столба до тачки встречи одинаковое.
Получается два прямоугольных треугольника с одинаковыми гипотенузами. Обозначаем расстояние от основания дома до места встречи - х, расстояние от основания фонаря до места встречи - у. Составляем систему уравнений.
12²+х²=5²+у²
х+у=17 ⇒ х=17-у - подставляем в первое уравнение;
12²+(17-у)²=5²+у²
12²+17²-34у+у²=5²+у²
34у=12²+17²-5²=408
у=408/34=12 м - расстояние от фонаря;
х=17-12=5 м - расстояние от дома.
∠АОВ=∠ВОС=АОС=360/3=120°.
Так как точка М - середина дуги АВ, то ∠АОМ=∠АОВ/2=60°. Соответственно ∠АОN=60°, а ∠MON=120°.
Большая дуга MN равна 360-∠MON=360-120=240°.
Вписанный угол MAN опирается на дугу MN и равен её половине. ∠MAN=∩MN/2=240/2=120°.
Треугольники AMN и OMN равны, т.к. оба равнобедренные, у них общее основание и углы при вершинах равны, значит углы при основании тоже равны. Соответственно ΔOMN=ΔOBC, значит MN=BC=a.
В четырёхугольнике AMON стороны равны, значит он ромб, значит АР=РО. АР=R/2=а√3/6.
В правильном треугольнике АЕН АР - высота. Для правильного тр-ка h=a√3/2 (здесь а другая, только для формулы) ⇒ а=2h/√3.
ЕН=2·АР/√3=2·а√3/(6√3)=а/3 (здесь а - сторона тр-ка АВС. а=АВ).
MN=a, ЕН =а/3.
Исходя из симметрии построенного чертежа, ΔAMP=ΔANP, значит МЕ=NН.
МЕ=NН=(MN-ЕН)/2=(а-а/3)/2=а/3.
МЕ=ЕН=NН=а/3.
Доказано.