б) Искомое расстояние - длина отрезка АН, перпендикулярного к плоскости КМЕ.
Т.к. АМ=МS; АЕ=ВЕ; АК=КС, то МК и МЕ – средние линии треугольников АМК и АМЕ.
∆ КАЕ - равнобедренный, его высота АО равна половине высоты АТ треугольника АВС.
АТ по т. Пифагора из ∆ АТС=√(АС² -ТС² )=2√5
∆ КМЕ - равнобедренный, его высоту МО найдем из прямоугольного треугольника МАО.
АО=АТ:2=√5
МО=√(МА² +АО² )=5/2
В прямоугольном ∆ МАО отрезок АН - высота, которая делит его на подобные треугольники, т. к. их острые углы равны (признак подобия прямоугольных треугольников).
Из подобия следует отношение:
АН:АМ=АО:МО
АН:[(√5):2]=√5: 5/2 ⇒ АН=1
а) Так как пересекающиеся МК и МЕ соответственно параллельны пересекающимся SC и SB, то плоскости МКЕ и CSB параллельны. АН ⊥плоскости КМЕ, следовательно, ее продолжение перпендикулярно плоскости CSB ( свойство прямой и параллельных плоскостей).
МО - средняя линия ∆ SAT, поэтому делит высоту АР, проведенную из вершины А, пополам.
1. Признак: "Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм".
Стороны АВ=СD (дано). Углы ВАС и АСD равны (дано). Это накрест лежащие углы при прямых АВ и CD и секущей АС. Следовательно, эти прямые параллельны (признак). АВСD - параллелограмм по приведенному выше признаку. Что и требовалось доказать.
2. Треугольники ADB и DCB равны по двум углам (<1=<4 и <2=<3 - дано) и стороне между ними - DB - общая. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.
AD=CB, DC=AB. ABCD - параллелограмм по признаку: "Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм".
б) Искомое расстояние - длина отрезка АН, перпендикулярного к плоскости КМЕ.
Т.к. АМ=МS; АЕ=ВЕ; АК=КС, то МК и МЕ – средние линии треугольников АМК и АМЕ.
∆ КАЕ - равнобедренный, его высота АО равна половине высоты АТ треугольника АВС.
АТ по т. Пифагора из ∆ АТС=√(АС² -ТС² )=2√5
∆ КМЕ - равнобедренный, его высоту МО найдем из прямоугольного треугольника МАО.
АО=АТ:2=√5
МО=√(МА² +АО² )=5/2
В прямоугольном ∆ МАО отрезок АН - высота, которая делит его на подобные треугольники, т. к. их острые углы равны (признак подобия прямоугольных треугольников).
Из подобия следует отношение:
АН:АМ=АО:МО
АН:[(√5):2]=√5: 5/2 ⇒ АН=1
а) Так как пересекающиеся МК и МЕ соответственно параллельны пересекающимся SC и SB, то плоскости МКЕ и CSB параллельны. АН ⊥плоскости КМЕ, следовательно, ее продолжение перпендикулярно плоскости CSB ( свойство прямой и параллельных плоскостей).
МО - средняя линия ∆ SAT, поэтому делит высоту АР, проведенную из вершины А, пополам.
1. Признак: "Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм".
Стороны АВ=СD (дано). Углы ВАС и АСD равны (дано). Это накрест лежащие углы при прямых АВ и CD и секущей АС. Следовательно, эти прямые параллельны (признак). АВСD - параллелограмм по приведенному выше признаку. Что и требовалось доказать.
2. Треугольники ADB и DCB равны по двум углам (<1=<4 и <2=<3 - дано) и стороне между ними - DB - общая. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.
AD=CB, DC=AB. ABCD - параллелограмм по признаку: "Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм".
Что и требовалось доказать.