Прямая AB разбивает плоскость на две полуплоскости.Из точки O,принадлежащей прямой AB,в разные полуплоскости проведены лучи OC и OD,причём угол AOD в 3 раза больше угла AOC.Найдите угол AOC,если угол BOD =126
4) канонические уравнения прямой АВ; точка A(0;3;-1).
Вектор АВ найден выше: АВ = (-1; -5; 6).
Уравнение АВ: x/(-1) = (y - 3)/(-5) = (z + 1)/6.
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; Направляющий вектор АВ(-1; -5; 6) для параллельной прямой сохраняется. Подставляем координаты точки D(-3;-1;-2).
x₁/y₁ = y₁/12
x₁ = y₁²/12
y₁⁴/144 + y₁² - 64 = 0
t = y₁²
t²/144 + t - 64 = 0
t₁ = 72*(-1 - √(1 + 4*64/144)) = 72*(-1 - √(25/9)) = 24(-3 - 5) отбросим
t₂ = 72*(-1 + √(1 + 4*64/144)) = 72*(-1 + √(25/9)) = 24(-3 + 5) = 48
y₁² = 48
y₁₁ = -4√3 отбросим,
y₁₂ = 4√3 - это лучше :)
y₁ = 4√3
x₁ = √(64 - y₁²) = √(64-48) = √16 = 4
x₁ = 4
tg (∠CHN) = x₁/y₁ = 1/√3
∠CHN = arctan (1/√3) = 30°
-----------------------------------------------------------
x₂² + y₂² = 8²
x₂/y₂ = y₂/4*√3
x₂ = y₂²/4*√3
y₂⁴*3/16 + y₂² - 64 = 0
t = y₂²
t²*3/16 + t - 64 = 0
t₁ = 8/3*(-1 - √(1 + 4*64*3/16)) = 8/3*(-1 - √49) = 8/3(-1 - 7) отбросим
t₂ = 8/3*(-1 + √(1 + 4*64*3/16)) = 8/3*(-1 + √49) = 8/3(-1 + 7) = 16
y₂² = 16
y₂₁ = -4 отбросим
y₂₂ = 4 - это лучше :)
y₂ = 4
x₂ = √(64 - y₂²) = √(64-16) = √48 = 4√3
x₂ = 4√3
tg (∠CHM) = x₂/y₂ = √3
∠CHM = arctan (√3) = 60°
--------------------
∠MHN = ∠CHM + ∠CHN = 90°
и гипотенуза MN
MN² = y₁² + y₂² = 4² + (4√3)² = 16 + 48 = 64
MN = √64 = 8
Даны точки A(0;3;-1), B(-1;-2;5), C(1;0;-4), D(-3;-1;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
Находим векторы АВ и АС: АВ = (-1; -5; 6), АС = (1; -3; -3).
Их векторное произведение равно:
i j k| i j
-1 -5 6| -1 -5
1 -3 -3| 1 -3 = 15i + 6j + 3k - 3j + 18i + 5k =
= 33i + 3j + 8k.
Нормальный вектор плоскости АВС это (33; 3; 8).
Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0.
Подставим координаты точки А: 33*0 + 3*3 + 8*(-1) + D = 0.
1 + D = 0. отсюда D = -1.
Получаем уравнение плоскости АВС: 33x + 3y + 8z - 1 = 0.
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС;
Для параллельной плоскости нормальный вектор сохраняется.
Подставим координаты точки D(-3;-1;-2):
33*(-3) + 3*(-1) + 8*(-2) + D = 0,
-99 - 3 - 16 + D = 0,
-118 + D = 0, отсюда D = 118.
Уравнение 33x + 3y + 8z + 118 = 0.
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0
используем формулу:d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D| /√(A² + B² + C²)
Подставим в формулу данные:
d = |33·(-3) + 3·(-1) + 8·(-2) + (-1)|/ √(33² + 3² + 8²) = |-99 - 3 - 16 - 1|/ √(1089 + 9 + 64) = 119/ √1162 = 17√1162/166 ≈ 3.49095.
4) канонические уравнения прямой АВ; точка A(0;3;-1).
Вектор АВ найден выше: АВ = (-1; -5; 6).
Уравнение АВ: x/(-1) = (y - 3)/(-5) = (z + 1)/6.
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; Направляющий вектор АВ(-1; -5; 6) для параллельной прямой сохраняется. Подставляем координаты точки D(-3;-1;-2).
Уравнение : (x + 3)/(-1) = (y + 1)/(-5) = (z + 2)/6.
6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D(-3;-1;-2) перпендикулярно прямой AB.
Вектор АВ (-1; -5; 6) будет нормальным вектором этой плоскости.
Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0.
Подставим координаты вектора и точки D:
(-1)*(-3) + (-5)*(-1) + 6*(-2) + D = 0.
-4 + D = 0. отсюда D = 4.
Уравнение: (-1)x + (-5)y + 6z + 4 = 0 или с положительным коэффициентом перед х:
x + 5y - 6z - 4 = 0.