Прямая АВ пересекает плоскость α в точке О, расстояние от точки А до плоскости равно 4 см. Найдите расстояние от точки В до плоскости, если точка В середина ОА.

Δabc ,  ∠c=90°   . пусть ас= х  ⇒ ав = х+3 s = 1/2 ac·bc = ! / 2 x(x+3)   ⇒ 18  ·2 = x²+ 3x     ⇒ x²+3 x = 36   ⇒ x²+3 x - 36 = 0       d = b² - 4 a c   =   9 - 4 ·1· (-36)=9+144=153  ⇒ x1 3-√153 = 3 -3√17   < 0   (не подходит) x2 = 3 + 3  √17   итак , ас = 3 + 3  √17         ав =   6 + 3  √17 ав  √ ас² + ав² =  √ (3 + 3  √17 ) ²+ ( 6 + 3  √17)²   = √9 + 18  √17 + 9 ·17 + 36 + 36√17 + 9·17 =  √45 + 54  √17 + 153 = √198 + 54√17 3   =   3√ 22+6√17

В условии опечатка: надо построить сечение куба плоскостью, параллельной плоскости ВС1D.

Точки В, С₁ и D лежат попарно в одинаковых гранях. Соединим их. Получим равносторонний треугольник (все стороны являются диагоналями равных квадратов).

Отметим точки М - середину ВС, и К - середину CD. Соединим их и точку Т.

ТМ║С₁В как средняя линия ΔС₁СВ,

ТК║С₁D как средняя линия ΔС₁СD, значит плоскость ТКМ параллельна плоскости ВС₁D, значит ТКМ - искомое сечение.

Так как стороны треугольника ТКМ равны половинам сторон треугольника ВС₁D как средние линии соответствующих треугольников, то ТКМ так же равносторонний. Его площадь:

Stkm = TM²√3/4

TM²√3 / 4 = 4√3

TM² = 16

TM = 4 cм

ВС₁ = 2ТМ = 8 см - диагональ грани куба.

Площадь квадрата можно найти по формуле:

S = d²/2  (квадрат - тот же ромб, площадь равна половине произведения диагоналей, а у квадрата диагонали равны)

S = 8² / 2 = 64/2 = 32 см²

Площадь поверхности куба:

Sпов = 6 · 32 = 192 см²