Прямая, параллельная стороне равностороннего треугольника, разбивает каждую из других сторон на два отрезка в отношении 1 : 3. Как относятся площади образовавшихся подобных треугольников? Докажи, используя формулу площади треугольника.

Перпендикуляр пройдeт через одну из вершин H или P., если угол при Н или Р будет прямым.  

( Вспомним теорему о трех перпендикулярах: Если наклонная a к плоскости перпендикулярна прямой b, лежащей в этой плоскости, то и ее проекция перпендикулярна прямой b. Обратно, если проекция перпендикулярна прямой b, то и наклонная перпендикулярна этой прямой )

Тогда проекция наклонной из Q будет перпендикулярна стороне ( катету), к которой опущен перпендикуляр.

Если угол Н ( или Р) будет прямым, то  наклонная QH  или QP  будет перпендикулярна катету и пройдет через вершину прямого угла. 

См. рисунок. 

Черным цветом обозначен данный треугольник, красным и серым -  треугольик, в котором  этот перпендикуляр пройдeт через одну из вершин H или P.

1. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см и образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Найдите объем пирамиды.

в правильной четырехугольной пирамиде четыре боковых грани

каждая грань -равнобедренный треугольник

K=10 см  АПОФЕМА - высота боковой грани

основание - квадрат, со стороной - назовем  -а

Апофема образует с плоскостью основания угол - назовем <A =60 градусов

проекция апофемы на плоскость основания отрезок- назовем k

k=K*cosA=10*cos60=5 см

отрезок k  равен  половине стороны квадрата  k=a/2

Тогда сторона основания a =2k = 2*5=10 см

Тогда площадь основания  So=a^2 =10^2=100 см2

по теореме Пифагора

высота пирамиды  h^2=K^2-k^2=10^-5^2=75  ;     h=5√3 см

Тогда  объем пирамиды  V=1/3 *So*h = 1/3*100*5√3 =500√3/3 м3

ответ   500√3/3 м3  или  500/√3 м3