Прямоугольник abcd-основание пирамиды tabcd, причем ребро taперпендикулярно плоскости основания и равно 5. точка m лежит на медиане dl грани cdt, а точка n лежит на диагонали bd. прямые am иtn пересекаются. известно что bn: nd=1: 3. найдите длину отрезка mn.
Проводим из точки M прямую параллельную BC и получаем сечение (треугольник) MM1T
а) Сразу же скажем, что высоты этих пирамид совпадают, т.к они имеют общую вершину
VTMM1BCVTAMM1D=SMBCM1SAMM1D
Остается найти площади этих трапеций:)
Сделаем выносной чертеж на плоскость основания, при этом продлим стороны AB и CD до пересечения в точке Z (частый прием в 16)
BH1 — высота трапеции.
AM=2MB по условию, пусть MB=x
AD=2BC по условию, пусть BC=y
из подобия треугольников ZBC и ADZ следует, что ZBZB+3x=12
отсюда ZB=3x
Из подобия треугольников ZBC и MM1Z следует, что yMM1=3x4x
MM1=43y
BH=4 — по условию, тогда из подобия треугольников MBH и ABH1 следует, что BHBH1=x3x
отсюда BH1=12, HH1=12−4=8
SAMM1D=MM1+AD2∗HH1=43y+2y2∗8=40y3
SMBCM1=MM1+BC2∗4=43y+y2∗4=14y3
VTMM1BCVTAMM1D=SMBCM1SAMM1D=14y40y=720
Б) Нам нужно как-то использовать площадь сечения…
V=VTMM1BC+VTAMM1D=277VTMM1BC (из пункта а)
V-объем всей пирамиды
VTMM1BCVTMBM1=SBMM1CSBMM1
SBMM1=0.5∗MM1∗4=83y
SBCMM1=143y
VTMM1BCVTMBM1=SBMM1CSBMM1=74
VTMM1BC=74VTMBM1=74∗403=703
VTMBM1=13∗SMM1T∗4=403
V=277∗703=90
ответ: 90