Прямые AB, CD и EF пересекаются в точке О, ZBOD = 80°, : ZBOE = 2 : 3. Один из образованных углов прямой, два другие относятся как 4: 5. Найдите наименьший из углов: AOF, АОС и СОЕ. Можно сразу если знаете и А7
Начнём. По свойству, биссектриса внутреннего угла делит противолижащию сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам. Вот у нас биссектриса делит гипотенузу в отношении 3:4. Тогда, стороны (назовём их а и b) также относятся: a:b=3:4. Пусть один отрезок гипотенузы будет равен 3х, тогда второй отрезок - 4х. Пусть сторона а=3у, тогда b=4у. Гипотенуза (назовём её с) = 3х+4х = 7х. По теореме Пифогара: a^2+b^2=c^2 <=>
9y^2+16y^2=49x^2
25y^2=49x^2
5у=7х
х=5/7*у
P (периметр)=a+b+c=4у+3у+7х=7у+5у=12у. Осталось найти у.
Назовём треугольник ABC, угол С - прямой. СМ - биссектриса. Биссектриса делит угол пополам, значит, угол АСМ = 45гр.
Рассмотрим треугольник АСМ, по теореме косинусов:
с^2=a^2+b^2-2*a*b*cosC (Любая сторона треугольника равна сумме квадратов её двух других сторон без (минус) удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.)
Если построить окружность по трем точкам К, М и С, то точка А неизбежно попадет на неё. В самом деле, предположив, что это не так, и рассматривая углы КАС и КА1С (А1 - точка пересечения АС с окружностью, проходящей через К, М, С), можно увидеть, что в треугольнике АА1К внешний угол равен внутреннему, поскольку
угол КА1С = 180 - угол КМС и угол КАС = 180 - угол КМС (это задано в условии).
Поэтому точка А может лежать только на построенной окружности. То есть вокруг АКМС можно описать окружность.
Если провести в четырехугольнике АКМС диагнонали АМ и КС, то
Угол ВКМ = угол КАМ + угол КМА = угол КСМ + КСА = угол ВСА (углы КАМ и КСМ - вписанные, опираются на дугу АК описанной окружности вокруг АКМС, то есть они равны, аналогично углы КМА и КСА вписанные, опираются на дугу КА, поэтому и они равны).
Теперь видно, что в треугольниках АВС и ВКМ угол В общий, а угол ВКМ = угол ВСА, то есть эти треугольники подобны.
При этому ВК (в тр-ке ВКМ) соответствует ВС (в тр-ке АВС), а ВМ соответствует АВ.
а) следует непосредственно из подобия треугольников АВС и ВКМ.
б) из условия следует, что площадь тр-ка ВКМ составляет 1/9 от площади тр-ка АВС. Поэтому соответственные стороны этих подобных треугольников отсносятся как 1/3. То есть АВ/ВМ = 3
Начнём. По свойству, биссектриса внутреннего угла делит противолижащию сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам. Вот у нас биссектриса делит гипотенузу в отношении 3:4. Тогда, стороны (назовём их а и b) также относятся: a:b=3:4. Пусть один отрезок гипотенузы будет равен 3х, тогда второй отрезок - 4х. Пусть сторона а=3у, тогда b=4у. Гипотенуза (назовём её с) = 3х+4х = 7х. По теореме Пифогара: a^2+b^2=c^2 <=>
9y^2+16y^2=49x^2
25y^2=49x^2
5у=7х
х=5/7*у
P (периметр)=a+b+c=4у+3у+7х=7у+5у=12у. Осталось найти у.
Назовём треугольник ABC, угол С - прямой. СМ - биссектриса. Биссектриса делит угол пополам, значит, угол АСМ = 45гр.
Рассмотрим треугольник АСМ, по теореме косинусов:
с^2=a^2+b^2-2*a*b*cosC (Любая сторона треугольника равна сумме квадратов её двух других сторон без (минус) удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.)
с=АМ, АМ=4х=4*5/7*у=20/7*у
(20/7*у)^2=(4y)^2+(24√2)^2-2*4y*24√2*cos45гр (cos45гр=√2/2)
400/49*y^2=16y^2+1152-192y
384/49*y^2-192y+1152=0
Решаем это квадратное уравнение:
a=384/49, b=192, c=1152
k=96
y1=(-k-√(k^2-a*c))/a y1=считать не надо, так как он будет отрицательный, а нам нужен положительный корень
y2=(-k+√(k^2-a*c))/a y2=14
P=12*14=168
ответ: 168.
Если построить окружность по трем точкам К, М и С, то точка А неизбежно попадет на неё. В самом деле, предположив, что это не так, и рассматривая углы КАС и КА1С (А1 - точка пересечения АС с окружностью, проходящей через К, М, С), можно увидеть, что в треугольнике АА1К внешний угол равен внутреннему, поскольку
угол КА1С = 180 - угол КМС и угол КАС = 180 - угол КМС (это задано в условии).
Поэтому точка А может лежать только на построенной окружности. То есть вокруг АКМС можно описать окружность.
Если провести в четырехугольнике АКМС диагнонали АМ и КС, то
Угол ВКМ = угол КАМ + угол КМА = угол КСМ + КСА = угол ВСА (углы КАМ и КСМ - вписанные, опираются на дугу АК описанной окружности вокруг АКМС, то есть они равны, аналогично углы КМА и КСА вписанные, опираются на дугу КА, поэтому и они равны).
Теперь видно, что в треугольниках АВС и ВКМ угол В общий, а угол ВКМ = угол ВСА, то есть эти треугольники подобны.
При этому ВК (в тр-ке ВКМ) соответствует ВС (в тр-ке АВС), а ВМ соответствует АВ.
а) следует непосредственно из подобия треугольников АВС и ВКМ.
б) из условия следует, что площадь тр-ка ВКМ составляет 1/9 от площади тр-ка АВС. Поэтому соответственные стороны этих подобных треугольников отсносятся как 1/3. То есть АВ/ВМ = 3