Пусть дан прямоугольный треугольник abc такой, что угол b=90 градусам. be - биссектриса и bh высота и 3ае=ce. найдите ah/ch

 AB/BC=AE/EC = 1/3  (биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон)
(тангенс угла - это отношение противолежащего катета к прилегающему)
находим tg(<A)=BC/AB=3/1
               tg(<C)=AB/BC=1/3
имеем два прямоугольных треугольника АНВ и ВНС
tg(<C)=ВН/НС=1/3
tg(<A)=ВН/АН=3/1
теперь находим отношение АН/НС = [tg(<C)] / [tg(<A)] = (ВН/НС) / (ВН/AH) = (1/3) / (3/1) = 1/3*1/3 = 1/9 
(рисунок во вложении)