Пусть М - точка пересечения медиан остроугольного треугольника ABC . Докажите , что если радиусы окружностей , вписанных в треугольники AMB , BMC , CMA , равны , то треугольник ABC – правильный .​

ответ: АВ=3/2

АВ перпендикулярна плоскости альфа

АС, АВ - наклонная

Угол АСВ=30°

Угол АДВ=60°

Радиус окружности=√3

Найти: АВ

Т.к. АВ перпендикулярна плоскости альфа, то В проекция точки А на плоскости альфа, ВС и ВД - проекция АС и АД

На плоскости альфа, соответственно ВС принадлежит плоскости альфа

ВД принадлежит плоскости альфа, т.к. АВ перпендикулярна плоскости альфа,то ВС перпендикулярна плоскости альфа, ВД перпендикулярна плоскости альфа, значит АВ перпендикулярна ВС, АВ перпендикулярна ВД, и треугольники АВС и АВД - прямоугольные

Треугольник АВС:АВ/АС=sin угла АСВ

АС=АВ/sin угла АСВ=АВ/sin30°=АВ/1/2=2АВ

Треугольник АВД=АВ/АД=sin угла АДВ

АД=АВ/sin угла АДВ=АВ sin60°=AB/√3/2=2/√3AB

Треугольник АСД - прямоугольный (угол АСВ+угол АДВ=90°)

Значит: R=1/2СД, тогда CД=2*√3=2√3

По теореме Пифагора:

Треугольник АСД=АС²+АД²=СД²

2АВ²+2/√3АВ²=2√3²

4АВ²+4/3АВ²=12

16/3АВ²=12 |:3/16

АВ²=9/4

АВ=3/2

ответ: АВ=3/2

Медиана АN делит треугольник АВС на два равновеликих треугольника, то есть площадь треугольника АВN равна половине площади АВС. Действительно Основания треугольников АВN и АСN равны (ВN = СN), высота общая.

Опустим перпендикуляр АР на сторону ВС и перпендикуляр МR на сторону ВС.

Треугольники АРN и МRN подобны. АN:MN = AP:NR.

Точка персечения медиан М делит медианы на отрезки с сотношением длинн 2:1, считая от вершины,

то есть АМ: MN. Отсюда АN:MN = 3:1, значит AP:NR = 3:1. AP и NR - высоты треугольников АВN и МВN с общим основанием ВN,

поэтому площадь МВN = (1/3)*(площадь АВN) = (1/3)*(1/2)*(площадь АВС) = (1/6)*(площадь АВС).

Отсюда площадь АВС = 6*(площадь МВN) = 6*15 = 90.

Объяснение: