В трапецию можно вписать окружность только тогда, когда равны суммы длин противоположных сторон трапеции. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, является средней линией трапеции. Центр вписанной окружности лежит на средней линии трапеции, т.к. каждое из оснований трапеции удалено от средней линии трапеции на расстояние, равное радиусу вписанной окружности. Длина средней линии равна полусумме оснований трапеции ⇒ сумма оснований тарпеции равна удвоенной длине средней линии трапеции. Сумма оснований трапеции равна 60. Сумма боковых сторон также равна 60. Периметр - сумма длин всех сторон - равен 120
Через точку М проведем прямую, параллельную B₁D₁ - MN.
Продлим прямую MN до пересечения с ребрами A₁D₁ и A₁B₁. Через получившиеся точки и точку К проведем прямые, которые пересекут ребра DD₁ и ВВ₁ в точках F и Е. KENMF - искомое сечение.
MN - средняя линия ΔB₁C₁D₁. A₁C₁ ∩ MN = T ⇒ A₁T = 3/4 A₁C₁
T∈ (AA₁C₁), K∈ (AA₁C₁), A₁C⊂(AA₁C₁) ⇒ α ∩ A₁C = O
Проведем КК₁ ║ АС в плоскости (АА₁С₁).
ΔАА₁С₁ подобен ΔКА₁К₁ ⇒ А₁К : АА₁ = А₁К₁ : А₁С = КК₁ : АС = 3 : 4, т.е. КК₁ = 3/4 АС,
значит КК₁ = А₁Т.
⇒ ΔА₁ОТ = ΔК₁ОК ⇒ А₁О = ОК₁ ⇒ А₁О = 1/2 А₁К₁
Но А₁К₁ = 3/4 А₁С ⇒ А₁О = 1/2 · 3/4 А₁С = 3/8 А₁С .
Значит, А₁О : ОС = 3 : 5.
Пусть ребро куба равно а.
Тогда А₁К = 3/4а, А₁С₁ = а√2, А₁Т = 3/4·а√2
ΔКА₁Т: tg∠A₁TK = A₁K / A₁T = 3/4a / (3/4·a√2) = 1/ √2
∠A₁TK = arctg (1/√2) - это угол между плоскостью сечения и плоскостью верхнего основания (а значит, и нижнего)
Длина средней линии равна полусумме оснований трапеции ⇒ сумма оснований тарпеции равна удвоенной длине средней линии трапеции. Сумма оснований трапеции равна 60. Сумма боковых сторон также равна 60. Периметр - сумма длин всех сторон - равен 120