Радиус окружности, вписанной в правильный четырёхугольник, равен 2√2 см. вычеслить: а) его периметр б) диаметр окружности, описанной около четырёхугольника
1))) построим проекцию прямой FK на плоскость AKC: из F опустим перпендикуляр FH на AC искомый угол ---угол HKF найдем FH: треугольник FHC прямоугольный, угол HCF = 45 град., FC=2 => HF = FC*sin45 = 2*корень(2)/2 = корень(2) найдем КF: треугольник ОКF прямоугольный, ОF=2 => КF = корень(4+4) = 2*корень(2) sin(HKF) = HF/KF = корень(2) / 2*корень(2) = 1/2 угол HKF = 30 град. 2))) чтобы построить сечение, перпендикулярное ADC1, нужно провести перпендикуляр из K к DC1 и продолжить его до пересечения с DD1 (H), получится треугольник EKH DK = DH, т.е. KH соединяет середины сторон квадрата DD1C1C, EK соединяет середины сторон квадрата, получившийся треугольник EKH равносторонний найдем EK: EK = корень(2) Периметр P = 3корень(2)
См. чертеж. DE = BC про построению. => BCED - параллелограмм, и CE = BD; M - середина AE = AD + BC; => PM = (AD + BC)/2 - AD/2 = BC/2 = FC; => PFCM - параллелограмм, и CM = FP; по построению MN = CM; диагонали четырехугольника ACEN делятся точкой пересечения пополам => это тоже параллелограмм. Площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ACE; и та и та равны H*(AD + BC)/2; где H - расстояние от точки C до AD, (в таких случаях говорят, что у треугольника и трапеции общая высота). Площадь треугольника ACE равна площади треугольника ACN - обе равны половине площади параллелограмма ACEN; Треугольник ACN имеет стороны 30, 34 и 16; его площадь находится элементарно и равна 240;
Не буду изображать хранителя знаний :)) ACN - прямоугольный треугольник, поскольку 16, 30, 34 - Пифагорова тройка, кратная (8, 15, 17); Можно было бы и выбрать середину AB - пусть это точка K, и показать, что 1) площадь APK равна 1/4 площади трапеции, достаточно провести среднюю линию, и все видно, 2) APK - (8, 15, 17);
искомый угол ---угол HKF
найдем FH: треугольник FHC прямоугольный, угол HCF = 45 град., FC=2 => HF = FC*sin45 = 2*корень(2)/2 = корень(2)
найдем КF: треугольник ОКF прямоугольный, ОF=2 => КF = корень(4+4) = 2*корень(2)
sin(HKF) = HF/KF = корень(2) / 2*корень(2) = 1/2
угол HKF = 30 град.
2))) чтобы построить сечение, перпендикулярное ADC1, нужно провести перпендикуляр из K к DC1 и продолжить его до пересечения с DD1 (H), получится треугольник EKH
DK = DH, т.е. KH соединяет середины сторон квадрата DD1C1C, EK соединяет середины сторон квадрата, получившийся треугольник EKH равносторонний
найдем EK: EK = корень(2)
Периметр P = 3корень(2)
DE = BC про построению.
=> BCED - параллелограмм, и CE = BD;
M - середина AE = AD + BC; => PM = (AD + BC)/2 - AD/2 = BC/2 = FC;
=> PFCM - параллелограмм, и CM = FP;
по построению MN = CM; диагонали четырехугольника ACEN делятся точкой пересечения пополам => это тоже параллелограмм.
Площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ACE; и та и та равны H*(AD + BC)/2; где H - расстояние от точки C до AD, (в таких случаях говорят, что у треугольника и трапеции общая высота).
Площадь треугольника ACE равна площади треугольника ACN - обе равны половине площади параллелограмма ACEN;
Треугольник ACN имеет стороны 30, 34 и 16; его площадь находится элементарно и равна 240;
Не буду изображать хранителя знаний :)) ACN - прямоугольный треугольник, поскольку 16, 30, 34 - Пифагорова тройка, кратная (8, 15, 17);
Можно было бы и выбрать середину AB - пусть это точка K, и показать, что 1) площадь APK равна 1/4 площади трапеции, достаточно провести среднюю линию, и все видно, 2) APK - (8, 15, 17);